$u = e^x \cos y$ と $v = e^x \sin y$ という関係が与えられています。ここで $x = x(u, v)$ と $y = y(u, v)$ とみなしたとき、点 $(x, y) = (0, \frac{\pi}{2})$ における $\frac{\partial x}{\partial v}$ と $\frac{\partial y}{\partial v}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$u = e^x \cos y$ と $v = e^x \sin y$ という関係が与えられています。ここで $x = x(u, v)$ と $y = y(u, v)$ とみなしたとき、点 $(x, y) = (0, \frac{\pi}{2})$ における $\frac{\partial x}{\partial v}$ と $\frac{\partial y}{\partial v}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$u$ と $v$ を $x$ と $y$ で偏微分します。

$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y$

$\frac{\partial v}{\partial x} = e^x \sin y$

$\frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y$

次に、逆関数の偏微分公式を利用して、$\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial v}$ を求めます。逆関数のヤコビアンは以下のようになります。

$J = \frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix} = (e^x \cos y)(e^x \cos y) - (-e^x \sin y)(e^x \sin y) = e^{2x} (\cos^2 y + \sin^2 y) = e^{2x}$

したがって、逆ヤコビアンは

$\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = \frac{1}{J} = e^{-2x}$

これより、

$\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\frac{\partial v}{\partial y}}{J} = \frac{e^x \cos y}{e^{2x}} = e^{-x} \cos y$

$\frac{\partial x}{\partial v} = -\frac{\frac{\partial u}{\partial y}}{J} = -\frac{-e^x \sin y}{e^{2x}} = e^{-x} \sin y$

$\frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\frac{\partial v}{\partial x}}{J} = -\frac{e^x \sin y}{e^{2x}} = -e^{-x} \sin y$

$\frac{\partial y}{\partial v} = \frac{\frac{\partial u}{\partial x}}{J} = \frac{e^x \cos y}{e^{2x}} = e^{-x} \cos y$

最後に、$(x, y) = (0, \frac{\pi}{2})$ を代入します。

$\frac{\partial x}{\partial v} = e^{-0} \sin \frac{\pi}{2} = 1 \cdot 1 = 1$

$\frac{\partial y}{\partial v} = e^{-0} \cos \frac{\pi}{2} = 1 \cdot 0 = 0$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial x}{\partial v} = 1$

$\frac{\partial y}{\partial v} = 0$