AとBの2チームが試合を繰り返し行い、先に2勝したチームを優勝とする。1回の試合でAチームが勝つ確率は$\frac{3}{5}$、Bチームが勝つ確率は$\frac{2}{5}$である。引き分けはないものとするとき、Aチームが優勝する確率を求めよ。

1. 問題の内容

AとBの2チームが試合を繰り返し行い、先に2勝したチームを優勝とする。1回の試合でAチームが勝つ確率は$\frac{3}{5}$、Bチームが勝つ確率は$\frac{2}{5}$である。引き分けはないものとするとき、Aチームが優勝する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

Aチームが優勝するパターンは以下の通りです。

(1) Aが2連勝する場合

(2) Aが1勝1敗の後、Aが勝つ場合

それぞれの確率を計算します。

(1) Aが2連勝する場合の確率:

$P(AA) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$

(2) Aが1勝1敗の後、Aが勝つ場合:

この場合、Aが勝つ順番はABAとBAAの2パターンあります。

$P(ABA) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{18}{125}$

$P(BAA) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{18}{125}$

よって、Aが1勝1敗の後、Aが勝つ確率は$\frac{18}{125} + \frac{18}{125} = \frac{36}{125}$

したがって、Aチームが優勝する確率は、(1)と(2)の確率の和になります。

$P(\text{Aが優勝}) = \frac{9}{25} + \frac{36}{125} = \frac{45}{125} + \frac{36}{125} = \frac{81}{125}$

3. 最終的な答え

Aチームが優勝する確率は$\frac{81}{125}$です。