最初に赤球3個と白球4個が入った袋がある。以下の試行を繰り返す。 (ア) まず同時に2個の球を取り出す。 (イ) その2個の球が同色であればそのまま袋に戻し、色違いであれば、取り出した球の代わりに赤球を2個袋に入れる。 (ウ) 最後に白球1個を袋に追加してかき混ぜ、1回目の試行を終える。 $n$回目の試行が終わった時点での袋の中の赤球の個数を$X_n$とする。 (1) $X_1 = 4$となる確率を求めよ。 (2) $X_2 = 4$となる確率を求めよ。 (3) $X_2 = 4$であったとき、$X_1 = 4$である条件つき確率を求めよ。

1. 問題の内容

最初に赤球3個と白球4個が入った袋がある。以下の試行を繰り返す。

(ア) まず同時に2個の球を取り出す。

(イ) その2個の球が同色であればそのまま袋に戻し、色違いであれば、取り出した球の代わりに赤球を2個袋に入れる。

(ウ) 最後に白球1個を袋に追加してかき混ぜ、1回目の試行を終える。

$n$回目の試行が終わった時点での袋の中の赤球の個数を$X_n$とする。

(1) $X_1 = 4$となる確率を求めよ。

(2) $X_2 = 4$となる確率を求めよ。

(3) $X_2 = 4$であったとき、$X_1 = 4$である条件つき確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $X_1=4$となるのは、1回目の試行後、赤球が4個になる場合である。

試行前の袋の中身は赤球3個、白球4個。計7個。

取り出した2個が同色の場合：

* 赤赤：確率は $\frac{{}_3C_2}{{}_7C_2} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$。この場合、赤球は3個のまま。

* 白白：確率は $\frac{{}_4C_2}{{}_7C_2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$。この場合、赤球は3個のまま。

取り出した2個が色違いの場合：

* 赤白：確率は $\frac{{}_3C_1 \cdot {}_4C_1}{{}_7C_2} = \frac{3 \cdot 4}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$。この場合、赤球が2個増え、赤球は5個になる。

最後に白球1個を加えるので、試行後の袋の中身は、

同色の場合は赤球3個、白球5個。

色違いの場合は赤球5個、白球5個。

$X_1 = 4$となるのは、1回目の試行後に赤球が4個である必要がある。

取り出した2個が同色のときは、赤球は3個のままなので、起こりえない。

取り出した2個が色違いの場合、赤球が5個になる。

その後、赤球が1個減って4個になることはないので、色違いの場合も起こりえない。

したがって、どのような場合でも、1回目の試行後に赤球が4個になることはない。

(2) $X_2 = 4$となるのは、2回目の試行後、赤球が4個になる場合である。

$X_1=3$の確率と$X_1=5$の確率を計算する。

(1)で述べたように、$X_1=3$となる確率は$\frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$、$X_1=5$となる確率は$\frac{4}{7}$。

$X_1 = 3$のとき、袋の中身は赤球3個、白球5個。計8個。

$X_1 = 5$のとき、袋の中身は赤球5個、白球5個。計10個。

$X_2 = 4$となるのは、以下のいずれかである。

(a) $X_1 = 3$であり、2回目の試行で赤球が1個増える。つまり、2回目に赤白を取り出す。

(b) $X_1 = 5$であり、2回目の試行で赤球が1個減る。つまり、2回目に赤赤を取り出す。

(a)の確率は、$\frac{3}{7} \times \frac{{}_3C_1 \cdot {}_5C_1}{{}_8C_2} = \frac{3}{7} \times \frac{3 \cdot 5}{28} = \frac{3}{7} \times \frac{15}{28} = \frac{45}{196}$。

(b)の確率は、$\frac{4}{7} \times \frac{{}_5C_2}{{}_{10}C_2} = \frac{4}{7} \times \frac{10}{45} = \frac{4}{7} \times \frac{2}{9} = \frac{8}{63}$。

よって、$X_2 = 4$となる確率は、$\frac{45}{196} + \frac{8}{63} = \frac{45 \cdot 9 + 8 \cdot 28}{1764} = \frac{405 + 224}{1764} = \frac{629}{1764}$。

(3) 条件付き確率 $P(X_1=4 | X_2=4)$を求めよ。

$P(X_1=4 | X_2=4) = \frac{P(X_1=4 \cap X_2=4)}{P(X_2=4)}$

$P(X_1=4)$は0なので、$P(X_1=4 \cap X_2=4)$も0。

したがって、$P(X_1=4 | X_2=4) = \frac{0}{\frac{629}{1764}} = 0$。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\frac{629}{1764}$

(3) 0