(1) 関数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 + 15x$ について、以下の問いに答える。 (ア) $f(x)$ が極大値と極小値をともに持つような $a$ の値の範囲を求める。 (イ) (ア)で求めた $a$ の範囲において、$f(x)$ の極大値と極小値の和を $a$ を用いて表す。 (ウ) $f(x)$ の極大値と極小値の和が $-18$ のとき、$a$ の値を求める。 (2) 関数 $f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 6x - 1$ は、$x=$ で極小値 をとる。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 + 15x$ について、以下の問いに答える。

(ア) $f(x)$ が極大値と極小値をともに持つような $a$ の値の範囲を求める。

(イ) (ア)で求めた $a$ の範囲において、$f(x)$ の極大値と極小値の和を $a$ を用いて表す。

(ウ) $f(x)$ の極大値と極小値の和が $-18$ のとき、$a$ の値を求める。

(2) 関数 $f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 6x - 1$ は、$x=$ で極小値 をとる。

2. 解き方の手順

(1)

(ア) $f(x)$ が極大値と極小値を持つためには、$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ必要がある。

まず、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 6ax + 15$

$f'(x) = 0$ となる条件は、$3x^2 + 6ax + 15 = 0$ より、$x^2 + 2ax + 5 = 0$ が異なる2つの実数解を持つこと。

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ である必要がある。

$D = (2a)^2 - 4(1)(5) = 4a^2 - 20$

$4a^2 - 20 > 0$

$a^2 > 5$

よって、$a < -\sqrt{5}$ または $a > \sqrt{5}$

(イ) $x^2 + 2ax + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -2a$

$\alpha \beta = 5$

極大値と極小値の和は $f(\alpha) + f(\beta)$ で与えられる。

$f(\alpha) = \alpha^3 + 3a\alpha^2 + 15\alpha$

$f(\beta) = \beta^3 + 3a\beta^2 + 15\beta$

$f(\alpha) + f(\beta) = (\alpha^3 + \beta^3) + 3a(\alpha^2 + \beta^2) + 15(\alpha + \beta)$

$= (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) + 3a[(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta] + 15(\alpha + \beta)$

$= (-2a)^3 - 3(5)(-2a) + 3a[(-2a)^2 - 2(5)] + 15(-2a)$

$= -8a^3 + 30a + 3a[4a^2 - 10] - 30a$

$= -8a^3 + 12a^3 - 30a$

$= 4a^3 - 30a + 30a -30a$

$= 4a^3-30a$

(ウ) 極大値と極小値の和が $-18$ より

$4a^3 - 30a = -18$

$2a^3 - 15a = -9$

$2a^3 - 15a + 9 = 0$

$(a - 3)(2a^2 + 6a - 3) = 0$

$a = 3$ または $2a^2 + 6a - 3 = 0$

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(2)(-3)}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2}$

(ア)の条件より、$a < -\sqrt{5}$ または $a > \sqrt{5}$ を満たす必要がある。$\sqrt{5} \approx 2.236$

$a = 3$ は条件を満たす。

$\frac{-3 + \sqrt{15}}{2} \approx \frac{-3 + 3.873}{2} \approx \frac{0.873}{2} \approx 0.4365 < \sqrt{5}$

$\frac{-3 - \sqrt{15}}{2} \approx \frac{-3 - 3.873}{2} \approx \frac{-6.873}{2} \approx -3.4365 < -\sqrt{5}$

よって、$a = 3$ または $a = \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}$

(2)

$f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 6x - 1$

$f'(x) = 6x^2 + 18x + 6 = 6(x^2 + 3x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x^2 + 3x + 1 = 0$ のとき。

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$f''(x) = 12x + 18$

$x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ のとき、$f''(x) = 12(\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}) + 18 = -18 + 6\sqrt{5} + 18 = 6\sqrt{5} > 0$

$x = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$f''(x) = 12(\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}) + 18 = -18 - 6\sqrt{5} + 18 = -6\sqrt{5} < 0$

よって、$x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ で極小値をとる。

極小値は、$f(\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}) = 2(\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})^3 + 9(\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})^2 + 6(\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}) - 1$

$\frac{-3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{-9 + 6\sqrt{5} -5\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{-4}{4}=-1$

$f(\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})=-13$

3. 最終的な答え

(1) (ア) $a < -\sqrt{5}$ または $a > \sqrt{5}$

(イ) $4a^3 - 30a$

(ウ) $a = 3, \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}$

(2) $x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ で極小値をとる。極小値=-13

$f(\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})=-13$

$極小値は、-13$

最終的な答え：

(1) (ア) $a < -\sqrt{5}, a > \sqrt{5}$

(イ) $4a^3 - 30a$

(ウ) $a = 3, a = \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}$

(2) $x = \frac{-3+\sqrt{5}}{2}$ で極小値 -13 をとる。