与えられた極限値を計算する問題です。ガウス記号を含む極限も含まれます。具体的には、以下の4つの極限を求める必要があります。 (1) $\lim_{x \to 3+0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$ (2) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$ (3) $\lim_{x \to 2+0} [x]$ (4) $\lim_{x \to 2-0} [x]$ ここで、$[x]$はガウス記号を表し、$x$を超えない最大の整数を意味します。

1. 問題の内容

与えられた極限値を計算する問題です。ガウス記号を含む極限も含まれます。具体的には、以下の4つの極限を求める必要があります。

(1) $\lim_{x \to 3+0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$

(2) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$

(3) $\lim_{x \to 2+0} [x]$

(4) $\lim_{x \to 2-0} [x]$

ここで、$[x]$はガウス記号を表し、$x$を超えない最大の整数を意味します。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 3+0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$

$x$ が $3$ より大きい値から $3$ に近づくとき、$x-3 > 0$ なので、$|x-3| = x-3$ となります。したがって、

$$\lim_{x \to 3+0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|} = \lim_{x \to 3+0} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3+0} (x+3) = 3+3 = 6$$

(2) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$

$x$ が $3$ より小さい値から $3$ に近づくとき、$x-3 < 0$ なので、$|x-3| = -(x-3) = 3-x$ となります。したがって、

$$\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|} = \lim_{x \to 3-0} \frac{(x-3)(x+3)}{-(x-3)} = \lim_{x \to 3-0} -(x+3) = -(3+3) = -6$$

(3) $\lim_{x \to 2+0} [x]$

$x$ が $2$ より大きい値から $2$ に近づくとき、例えば、$x=2.1, 2.01, 2.001, ...$ のように近づくと、$[x] = 2$ となります。したがって、

$$\lim_{x \to 2+0} [x] = 2$$

(4) $\lim_{x \to 2-0} [x]$

$x$ が $2$ より小さい値から $2$ に近づくとき、例えば、$x=1.9, 1.99, 1.999, ...$ のように近づくと、$[x] = 1$ となります。したがって、

$$\lim_{x \to 2-0} [x] = 1$$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) -6

(3) 2

(4) 1