与えられた極限を求める問題です。具体的には、 $\lim_{x \to \infty} x \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限を求める問題です。具体的には、

$\lim_{x \to \infty} x \tan^{-1}(\frac{1}{x})$

を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、変数を置換します。

$t = \frac{1}{x}$ と置くと、$x \to \infty$ のとき、$t \to 0$ となります。

したがって、極限は次のように書き換えられます。

$\lim_{x \to \infty} x \tan^{-1}(\frac{1}{x}) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \tan^{-1}(t) = \lim_{t \to 0} \frac{\tan^{-1}(t)}{t}$

ここで、$\tan^{-1}(t)$ のマクローリン展開（またはテイラー展開）を利用します。

$\tan^{-1}(t) = t - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} - \frac{t^7}{7} + \cdots$

したがって、

$\frac{\tan^{-1}(t)}{t} = 1 - \frac{t^2}{3} + \frac{t^4}{5} - \frac{t^6}{7} + \cdots$

$t \to 0$ のとき、$\frac{\tan^{-1}(t)}{t} \to 1$ となります。

したがって、極限は1となります。

あるいは、ロピタルの定理を使うこともできます。

$\lim_{t \to 0} \frac{\tan^{-1}(t)}{t}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\frac{d}{dt} \tan^{-1}(t) = \frac{1}{1+t^2}$

$\frac{d}{dt} t = 1$

したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\tan^{-1}(t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{1+t^2}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{1+t^2} = \frac{1}{1+0^2} = 1$

3. 最終的な答え

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