箱の中に赤玉と白玉がいくつか入っている。箱から玉を1個取り出し、色を調べて元に戻すという試行を1024回行ったところ、赤玉が704回出た。このとき、赤玉の比率の点推定値と、95%信頼区間を求める。

1. 問題の内容

箱の中に赤玉と白玉がいくつか入っている。箱から玉を1個取り出し、色を調べて元に戻すという試行を1024回行ったところ、赤玉が704回出た。このとき、赤玉の比率の点推定値と、95%信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

まず、赤玉の比率の点推定値 $\hat{p}$ を計算する。

$\hat{p} = \frac{赤玉が出た回数}{試行回数} = \frac{704}{1024} = 0.6875$

次に、95%信頼区間を計算する。信頼区間は以下の式で与えられる。

$[\hat{p} - 2 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + 2 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}]$

$\hat{p} = 0.6875$

$1 - \hat{p} = 1 - 0.6875 = 0.3125$

$n = 1024$

$\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} = \frac{0.6875 \times 0.3125}{1024} = \frac{0.21484375}{1024} \approx 0.0002098$

$\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{0.0002098} \approx 0.014484475$

$2 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \approx 2 \times 0.014484475 \approx 0.02896895$

信頼区間の下限: $0.6875 - 0.02896895 \approx 0.65853105$

信頼区間の上限: $0.6875 + 0.02896895 \approx 0.71646895$

問題文の指示に従い、信頼区間の端数を小数第4位で四捨五入する。

下限: $0.659$

上限: $0.716$

3. 最終的な答え

赤玉の比率の点推定値: 0.688

95%信頼区間: [0.659, 0.716]