問題1(1): 12本のくじの中に当たりくじが3本あるとき、A、Bの2人がこの順にくじを引く。Aが当たったときに、Bが当たる条件つき確率を求めよ。 問題1(2): A, B, Cの3人が、この順にくじを引く。少なくともAとCがはずれる確率を求めよ。 問題2: ジョーカーを除く1組52枚のトランプから1枚引いて、それを元に戻さずに、さらに1枚引く。このとき、2枚とも同じマークのカードである確率を求めよ。

1. 問題の内容

問題1(1): 12本のくじの中に当たりくじが3本あるとき、A、Bの2人がこの順にくじを引く。Aが当たったときに、Bが当たる条件つき確率を求めよ。

問題1(2): A, B, Cの3人が、この順にくじを引く。少なくともAとCがはずれる確率を求めよ。

問題2: ジョーカーを除く1組52枚のトランプから1枚引いて、それを元に戻さずに、さらに1枚引く。このとき、2枚とも同じマークのカードである確率を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1(1): 条件付き確率の問題

Aが当たる事象を$A$，Bが当たる事象を$B$とする。求める確率は$P(B|A)$である。

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

$P(A \cap B) = \frac{3}{12} \times \frac{2}{11} = \frac{1}{22}$

$P(B|A) = \frac{1/22}{1/4} = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}$

問題1(2): 排反な事象に分けて考える。

少なくともAとCがはずれるということは、Aが外れてCが当たる、Aが外れてCも外れる、Aが当たってCが外れる、の3つの場合に分けられる。

1. Aが外れてCが当たる確率：$\frac{9}{12} \times \frac{3}{11} \times \frac{2}{10} = \frac{54}{1320} = \frac{9}{220}$

2. Aが外れてCも外れる確率：$\frac{9}{12} \times \frac{8}{11} \times \frac{7}{10} = \frac{504}{1320} = \frac{42}{110} = \frac{21}{55}$

3. Aが当たってCが外れる確率：$\frac{3}{12} \times \frac{9}{11} \times \frac{8}{10} = \frac{216}{1320} = \frac{18}{110} = \frac{9}{55}$

求める確率はこれらの和である。

$\frac{9}{220} + \frac{21}{55} + \frac{9}{55} = \frac{9}{220} + \frac{84}{220} + \frac{36}{220} = \frac{129}{220}$

問題2: 2枚とも同じマークのカードである確率

1組52枚のトランプは、スペード、ハート、ダイヤ、クラブの4種類のマークがあり、各マーク13枚ずつである。

1枚目のカードのマークは何でも良いので、1枚目のカードは何が出ても良い。

1枚目のカードと同じマークのカードが残りは12枚なので、2枚目が同じマークである確率は、

$\frac{12}{51} = \frac{4}{17}$

3. 最終的な答え

問題1(1): $\frac{2}{11}$

問題1(2): $\frac{129}{220}$

問題2: $\frac{4}{17}$