男子6人、女子4人の中から4人の委員を選ぶ場合の数について、以下の条件を満たす場合の数を求める問題です。 (1) すべての選び方 (2) 男子の委員2人、女子の委員2人を選ぶ。 (3) 女子が少なくとも1人選ばれる。 (4) 特定の2人a, bがともに選ばれる。 (5) aは選ばれるが、bは選ばれない。

1. 問題の内容

男子6人、女子4人の中から4人の委員を選ぶ場合の数について、以下の条件を満たす場合の数を求める問題です。

(1) すべての選び方

(2) 男子の委員2人、女子の委員2人を選ぶ。

(3) 女子が少なくとも1人選ばれる。

(4) 特定の2人a, bがともに選ばれる。

(5) aは選ばれるが、bは選ばれない。

2. 解き方の手順

(1) すべての選び方

全体で10人の中から4人を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を使います。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

(2) 男子の委員2人、女子の委員2人を選ぶ。

男子6人から2人を選ぶ組み合わせと、女子4人から2人を選ぶ組み合わせの積を計算します。

男子の選び方: $_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

女子の選び方: $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

よって、選び方は $15 \times 6 = 90$ 通りです。

(3) 女子が少なくとも1人選ばれる。

全体の選び方から女子が1人も選ばれない場合（全員男子）の数を引きます。

全員男子の選び方: $_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

よって、選び方は $210 - 15 = 195$ 通りです。

(4) 特定の2人a, bがともに選ばれる。

aとbが選ばれることが確定しているので、残りの2人を残りの8人から選ぶ組み合わせを計算します。

$_8C_2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

(5) aは選ばれるが、bは選ばれない。

aが選ばれることが確定しているので、残りの3人を残りの9人から選ぶことになります。ただし、bは選ばれないので、b以外の8人から3人を選ぶ組み合わせを計算します。

$_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

3. 最終的な答え

(1) 210通り

(2) 90通り

(3) 195通り

(4) 28通り

(5) 56通り