A、B、Cの箱にそれぞれ赤玉、白玉、青玉が1個ずつ入っている。硬貨を投げて、表が出ればAとBの玉を交換し、裏が出ればBとCの玉を交換する。この操作を $n$ 回繰り返した後にA、B、Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ $a_n, b_n, c_n$ とする。 (1) $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ を求めよ。 (2) $a_{n+1}, b_{n+1}, c_{n+1}$ を $a_n, b_n, c_n$ で表せ。 (3) $a_n, b_n, c_n$ を求めよ。

はい、承知いたしました。与えられた問題に取り組みます。

1. 問題の内容

A、B、Cの箱にそれぞれ赤玉、白玉、青玉が1個ずつ入っている。硬貨を投げて、表が出ればAとBの玉を交換し、裏が出ればBとCの玉を交換する。この操作を $n$ 回繰り返した後にA、B、Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ $a_n, b_n, c_n$ とする。

(1) $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ を求めよ。

(2) $a_{n+1}, b_{n+1}, c_{n+1}$ を $a_n, b_n, c_n$ で表せ。

(3) $a_n, b_n, c_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_1, b_1, c_1$ を求める。

1回目の操作で、

- 表が出ればAとBが交換されるので、Aが赤玉を持つ確率は0、Bが赤玉を持つ確率は1/2、Cが赤玉を持つ確率は0。

- 裏が出ればBとCが交換されるので、Aが赤玉を持つ確率は1/2、Bが赤玉を持つ確率は0、Cが赤玉を持つ確率は0。

したがって、$a_1 = \frac{1}{2}, b_1 = \frac{1}{2}, c_1 = 0$。

次に、$a_2, b_2, c_2$ を求める。

2回目の操作で、

- 1回目に表が出た場合、Aは白玉、Bは赤玉、Cは青玉を持つ。

- 2回目に表が出れば、Aは赤玉、Bは白玉、Cは青玉を持つ。確率は$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

- 2回目に裏が出れば、Aは白玉、Bは青玉、Cは赤玉を持つ。確率は$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

- 1回目に裏が出た場合、Aは赤玉、Bは青玉、Cは白玉を持つ。

- 2回目に表が出れば、Aは青玉、Bは赤玉、Cは白玉を持つ。確率は$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

- 2回目に裏が出れば、Aは赤玉、Bは白玉、Cは青玉を持つ。確率は$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

したがって、$a_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}, b_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}, c_2 = 0$。

(2) $a_{n+1}, b_{n+1}, c_{n+1}$ を $a_n, b_n, c_n$ で表す。

$n+1$回目の操作後、

- Aが赤玉を持つ場合:

- n回目にAが赤玉を持っていて、表が出ない場合。確率 $(1/2) a_n$

- n回目にBが赤玉を持っていて、表が出た場合。確率 $(1/2) b_n$

したがって、$a_{n+1} = \frac{1}{2}b_n + \frac{1}{2}a_n$.

- Bが赤玉を持つ場合:

- n回目にAが赤玉を持っていて、表が出た場合。確率 $(1/2) a_n$

- n回目にBが赤玉を持っていて、表が出ない かつ 裏が出ない場合。確率0

- n回目にCが赤玉を持っていて、裏が出た場合。確率 $(1/2) c_n$

したがって、$b_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{2}c_n$.

- Cが赤玉を持つ場合:

- n回目にBが赤玉を持っていて、裏が出た場合。確率 $(1/2) b_n$

- n回目にCが赤玉を持っていて、裏が出ない場合。確率 $(1/2) c_n$

したがって、$c_{n+1} = \frac{1}{2}b_n + \frac{1}{2}c_n$.

(3) $a_n, b_n, c_n$ を求める。

$a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + b_n)$

$b_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + c_n)$

$c_{n+1} = \frac{1}{2}(b_n + c_n)$

$a_n + b_n + c_n = 1$ である。

$a_{n+1} - c_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n - c_n)$

$a_n - c_n = (a_1 - c_1)(\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^{n-1} = (\frac{1}{2})^n$

$a_n - c_n = (\frac{1}{2})^n$

$a_{n+1} + b_{n+1} + c_{n+1} = \frac{1}{2}b_n + \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{2}c_n + \frac{1}{2}b_n + \frac{1}{2}c_n = a_n + b_n + c_n = 1$

$a_{n+1} - b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n + \frac{1}{2}a_n - \frac{1}{2}a_n - \frac{1}{2}c_n = \frac{1}{2}(b_n - c_n)$

$b_{n+1} - c_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{2}c_n - \frac{1}{2}b_n - \frac{1}{2}c_n = \frac{1}{2}(a_n-b_n)$.

$a_n + b_n + c_n = 1$ より $a_n + b_n = 1- c_n$

推測: $c_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^{n-1}$, $b_n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}(-\frac{1}{2})^{n-1}$, $a_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^{n-1}$.

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = \frac{1}{2}, b_1 = \frac{1}{2}, c_1 = 0, a_2 = \frac{1}{2}, b_2 = \frac{1}{2}, c_2 = 0$

(2) $a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + b_n), b_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + c_n), c_{n+1} = \frac{1}{2}(b_n + c_n)$

(3) $a_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^{n-1}$, $b_n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}(-\frac{1}{2})^{n-1}$, $c_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^{n-1}$