確率変数 $X$ が正規分布 $N(50, 10^2)$ に従うとき、以下の問題を解きます。 (1) $P(|X-50| \le 15)$ を求めます。 (2) 別の確率変数 $Y$ が正規分布 $N(60, 20^2)$ に従い、$Y = aX + b$ ($a>0$) という関係があるとき、$a$, $b$ の値を求め、確率 $P(Y \ge 90)$ を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(50, 10^2)$ に従うとき、以下の問題を解きます。

(1) $P(|X-50| \le 15)$ を求めます。

(2) 別の確率変数 $Y$ が正規分布 $N(60, 20^2)$ に従い、$Y = aX + b$ ($a>0$) という関係があるとき、$a$, $b$ の値を求め、確率 $P(Y \ge 90)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $P(|X-50| \le 15)$ を求める。

$|X-50| \le 15$ は $-15 \le X-50 \le 15$ と同値です。

したがって、$35 \le X \le 65$ となります。

$X$ を標準化します。$Z = \frac{X - 50}{10}$ とおくと、$Z$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従います。

$X=35$ のとき $Z = \frac{35 - 50}{10} = -1.5$

$X=65$ のとき $Z = \frac{65 - 50}{10} = 1.5$

したがって、$P(35 \le X \le 65) = P(-1.5 \le Z \le 1.5)$ となります。

標準正規分布表を用いて、$P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332$ であるため、$P(-1.5 \le Z \le 1.5) = 2 \times 0.4332 = 0.8664$

(2) $a, b$ を求める。

$E[X] = 50$, $V[X] = 10^2 = 100$

$E[Y] = 60$, $V[Y] = 20^2 = 400$

$Y = aX + b$ より、

$E[Y] = aE[X] + b$ なので、$60 = 50a + b$

$V[Y] = a^2 V[X]$ なので、$400 = a^2 \times 100$

$a^2 = 4$ より、$a = \pm 2$ ですが、$a>0$ より $a = 2$

$60 = 50(2) + b$ より、$60 = 100 + b$, $b = -40$

したがって、$a = 2$, $b = -40$

$P(Y \ge 90)$ を求める。

$Y = 2X - 40 \ge 90$ より、$2X \ge 130$, $X \ge 65$

$P(X \ge 65) = P(Z \ge 1.5) = 0.5 - P(0 \le Z \le 1.5) = 0.5 - 0.4332 = 0.0668$

3. 最終的な答え

(1) $P(|X-50| \le 15) = 0.8664$

(2) $a = 2$, $b = -40$, $P(Y \ge 90) = 0.0668$