すべての実数 $x$ に対して、不等式 $ax^2 - 4x + a - 3 > 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $ax^2 - 4x + a - 3 > 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $ax^2 - 4x + a - 3 > 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つ条件を考えます。

(i) $a = 0$ の場合、不等式は $-4x - 3 > 0$ となります。これはすべての $x$ に対して成り立つわけではないので、$a = 0$ は条件を満たしません。

(ii) $a > 0$ の場合、二次関数 $f(x) = ax^2 - 4x + a - 3$ のグラフは下に凸の放物線となります。したがって、すべての実数 $x$ に対して $f(x) > 0$ となる条件は、この放物線が $x$ 軸と交わらないこと、つまり、$f(x) = 0$ が実数解を持たないことです。これは、判別式 $D < 0$ となることと同値です。

判別式 $D$ は、

$D = (-4)^2 - 4a(a-3) = 16 - 4a^2 + 12a = -4a^2 + 12a + 16$

$D < 0$ より、

$-4a^2 + 12a + 16 < 0$

$a^2 - 3a - 4 > 0$

$(a-4)(a+1) > 0$

これより、$a < -1$ または $a > 4$ となります。

ただし、$a > 0$ という条件があるので、$a > 4$ となります。

3. 最終的な答え

$a > 4$