2次方程式 $x^2 - 8x + 13 = 0$ の2つの実数解を $\alpha$ と $\beta$ とする。$\alpha$ の小数部分と $\beta$ の小数部分を2つの解とする2次方程式を1つ作る。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 8x + 13 = 0$ の2つの実数解を $\alpha$ と $\beta$ とする。$\alpha$ の小数部分と $\beta$ の小数部分を2つの解とする2次方程式を1つ作る。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 - 8x + 13 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(13)}}{2(1)}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 52}}{2}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2}$

$x = \frac{8 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

$x = 4 \pm \sqrt{3}$

したがって、$\alpha = 4 + \sqrt{3}$ 、$\beta = 4 - \sqrt{3}$ となります（どちらを $\alpha$ と $\beta$ にしても問題ありません）。

$\sqrt{3} \approx 1.732$ より、

$\alpha \approx 4 + 1.732 = 5.732$

$\beta \approx 4 - 1.732 = 2.268$

$\alpha$ の整数部分は5なので、小数部分は $\alpha - 5 = 4 + \sqrt{3} - 5 = \sqrt{3} - 1$

$\beta$ の整数部分は2なので、小数部分は $\beta - 2 = 4 - \sqrt{3} - 2 = 2 - \sqrt{3}$

求める2次方程式の2つの解は、 $\sqrt{3} - 1$ と $2 - \sqrt{3}$ です。

解と係数の関係より、2つの解の和は $(\sqrt{3} - 1) + (2 - \sqrt{3}) = 1$ 。

2つの解の積は $(\sqrt{3} - 1)(2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3 - 2 + \sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 5$ 。

したがって、求める2次方程式は、

$x^2 - (\text{2つの解の和})x + (\text{2つの解の積}) = 0$ より、

$x^2 - x + (3\sqrt{3} - 5) = 0$ 。

3. 最終的な答え

$x^2 - x + (3\sqrt{3} - 5) = 0$