赤玉4個、白玉3個、黒玉2個が入った箱から、玉を1個ずつ2回取り出す。取り出した玉は元に戻さない。 (1) 2回とも赤玉を取り出す確率を求める。 (2) 1回目と2回目に取り出した玉の色が異なる確率を求める。 (3) 少なくとも1回は白玉を取り出す確率を求める。 (4) 2回目に取り出した玉が黒玉であるとき、1回目に取り出した玉が白玉である条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

赤玉4個、白玉3個、黒玉2個が入った箱から、玉を1個ずつ2回取り出す。取り出した玉は元に戻さない。

(1) 2回とも赤玉を取り出す確率を求める。

(2) 1回目と2回目に取り出した玉の色が異なる確率を求める。

(3) 少なくとも1回は白玉を取り出す確率を求める。

(4) 2回目に取り出した玉が黒玉であるとき、1回目に取り出した玉が白玉である条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2回とも赤玉を取り出す確率:

1回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{4}{9}$。

1回目に赤玉を取り出した後、残りの玉は赤玉3個、白玉3個、黒玉2個で合計8個。

2回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{3}{8}$。

したがって、2回とも赤玉を取り出す確率は、

$\frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$。

答えはウ。

(2) 1回目と2回目に取り出した玉の色が異なる確率:

1回目と2回目が同じ色である確率を求め、それを1から引くことで、異なる色の確率を求める。

1回目と2回目が赤である確率は(1)で求めた通り、$\frac{1}{6}$。

1回目と2回目が白である確率は、$\frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$。

1回目と2回目が黒である確率は、$\frac{2}{9} \times \frac{1}{8} = \frac{2}{72} = \frac{1}{36}$。

したがって、1回目と2回目が同じ色である確率は、

$\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{36} = \frac{6}{36} + \frac{3}{36} + \frac{1}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$。

よって、1回目と2回目に取り出した玉の色が異なる確率は、

$1 - \frac{5}{18} = \frac{13}{18}$。

答えはエ。

(3) 少なくとも1回は白玉を取り出す確率:

少なくとも1回白玉が出る確率 = 1 - (2回とも白玉が出ない確率)

2回とも白玉が出ない確率を求める。

1回目に白玉が出ない確率は、$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$。

1回目に白玉が出なかったとき、残りの玉は合計8個で、白玉は3個のまま。白玉以外の玉は5個。

2回目に白玉が出ない確率は、$\frac{5}{8}$。

したがって、2回とも白玉が出ない確率は、$\frac{2}{3} \times \frac{5}{8} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$。

少なくとも1回は白玉を取り出す確率は、

$1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$。

答えはア。

(4) 2回目に取り出した玉が黒玉であるとき、1回目に取り出した玉が白玉である条件付き確率:

P(1回目が白 | 2回目が黒) = P(1回目が白かつ2回目が黒) / P(2回目が黒)

P(1回目が白かつ2回目が黒) = $\frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$

P(2回目が黒) = P(1回目が赤かつ2回目が黒) + P(1回目が白かつ2回目が黒) + P(1回目が黒かつ2回目が黒)

= $\frac{4}{9} \times \frac{2}{8} + \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} + \frac{2}{9} \times \frac{1}{8} = \frac{8}{72} + \frac{6}{72} + \frac{2}{72} = \frac{16}{72} = \frac{2}{9}$

P(1回目が白 | 2回目が黒) = $\frac{1/12}{2/9} = \frac{1}{12} \times \frac{9}{2} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$。

答えはイ。

3. 最終的な答え

19: ウ

20: エ

21: ア

22: イ