$x^2 = x+1$ のとき、$x^3+x$ の値を、$x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ を用いて計算する問題です。

1. 問題の内容

$x^2 = x+1$ のとき、$x^3+x$ の値を、$x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ を用いて計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = x+1$ を用いて、$x^3+x$ を簡単な式に変形します。

$x^3+x = x \cdot x^2 + x = x(x+1)+x = x^2+x+x = x^2+2x$

さらに、$x^2 = x+1$ を用いて、

$x^2+2x = (x+1)+2x = 3x+1$

したがって、$x^3+x = 3x+1$ が成り立ちます。

次に、$x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ を $3x+1$ に代入して計算します。

$3x+1 = 3 \cdot \frac{1-\sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{3-3\sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3-3\sqrt{5}+2}{2} = \frac{5-3\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$