$x$ と $y$ が実数であるとき、$xy < 0$ が $x + y < 0$ であるための必要条件、十分条件、必要十分条件のいずれであるかを問う問題です。

1. 問題の内容

$x$ と $y$ が実数であるとき、$xy < 0$ が $x + y < 0$ であるための必要条件、十分条件、必要十分条件のいずれであるかを問う問題です。

2. 解き方の手順

まず、$xy < 0$ という条件から、$x$ と $y$ は異符号であることがわかります。つまり、$x > 0$ かつ $y < 0$、または $x < 0$ かつ $y > 0$ のいずれかです。

次に、$x + y < 0$ を考えます。

$xy < 0 \Rightarrow x + y < 0$ が成り立つかどうかを検討します。

反例として、$x = 1, y = -2$ を考えると、$xy = -2 < 0$ ですが、$x + y = 1 - 2 = -1 < 0$ となり、この場合は成り立ちます。

しかし、$x = 2, y = -1$ を考えると、$xy = -2 < 0$ ですが、$x + y = 2 - 1 = 1 > 0$ となり、成り立ちません。したがって、$xy < 0$ は $x + y < 0$ の十分条件ではありません。

次に、$x + y < 0 \Rightarrow xy < 0$ が成り立つかどうかを検討します。

$x + y < 0$ の場合、$x$ と $y$ が両方負の場合（例：$x = -1, y = -2$）には、$xy = 2 > 0$ となり、$xy < 0$ は成り立ちません。

しかし、$x + y < 0$ で、$x$ と $y$ のうち一方が正、もう一方が負であれば、$xy < 0$ が成り立ちます。

したがって、$x + y < 0$ は $xy < 0$ の十分条件ではありません。

$x + y < 0 \Rightarrow xy < 0$ は、$x$ と $y$ が両方負の数の場合、$x + y < 0$ は成り立ちますが、$xy > 0$ となり成り立ちません。

必要条件、十分条件のどちらでもないので、答えは「必要条件でも十分条件でもない」となります。

3. 最終的な答え

④ 必要条件でも十分条件でもない