$y = x^2 - 2(2a-1)x + 3a^2 + 8$ $y = \{x - (2a-1)\}^2 - (2a-1)^2 + 3a^2 + 8$ $y = \{x - (2a-1)\}^2 - (4a^2 - 4a + 1) + 3a^2 + 8$ $y = \{x - (2a-1)\}^2 - a^2 + 4a + 7$ したがって、最小値 $m$ は $m = -a^2 + 4a + 7$

## 数学の問題の解答

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1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = x^2 - 2(2a-1)x + 3a^2 + 8$ の最小値を $m$ とするとき、$m$ の最大値を求めよ。

(2) $a > 0$ のとき、2次関数 $y = x^2 - 2x$ ($0 \leqq x \leqq a$) の最大値、最小値を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1) の解き方**

1. 与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2(2a-1)x + 3a^2 + 8$

$y = \{x - (2a-1)\}^2 - (2a-1)^2 + 3a^2 + 8$

$y = \{x - (2a-1)\}^2 - (4a^2 - 4a + 1) + 3a^2 + 8$

$y = \{x - (2a-1)\}^2 - a^2 + 4a + 7$

したがって、最小値 $m$ は

$m = -a^2 + 4a + 7$

2. $m$ を $a$ の関数と見て、平方完成する。

$m = -(a^2 - 4a) + 7$

$m = -(a^2 - 4a + 4) + 4 + 7$

$m = -(a - 2)^2 + 11$

3. $m$ の最大値を求める。

$m$ は $a = 2$ のとき最大値 $11$ をとる。

**(2) の解き方**

1. 与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2x$

$y = (x - 1)^2 - 1$

軸は $x = 1$。頂点の座標は $(1, -1)$。

2. 定義域 $0 \leqq x \leqq a$ と軸 $x = 1$ の位置関係で場合分けして、最大値と最小値を考える。

(i) $0 < a < 1$ のとき

最小値は $x = a$ で $y = a^2 - 2a$

最大値は $x = 0$ で $y = 0$

(ii) $a = 1$ のとき

最小値は $x = 1$ で $y = -1$

最大値は $x = 0$ で $y = 0$

(iii) $1 < a < 2$ のとき

最小値は $x = 1$ で $y = -1$

最大値は $x = 0$ で $y = 0$

(iv) $a = 2$ のとき

最小値は $x = 1$ で $y = -1$

最大値は $x = 0, 2$ で $y = 0$

(v) $a > 2$ のとき

最小値は $x = 1$ で $y = -1$

最大値は $x = a$ で $y = a^2 - 2a$

3. 場合分けの結果をまとめる。

(i) $0 < a < 2$ のとき

最小値：$x=1$のとき$y=-1$

最大値：$x=0$のとき$y=0$

(ii) $a = 2$ のとき

最小値：$x=1$のとき$y=-1$

最大値：$x=0, 2$のとき$y=0$

(iii) $a > 2$ のとき

最小値：$x=1$のとき$y=-1$

最大値：$x=a$のとき$y=a^2-2a$

したがって

- $0 < a < 2$のとき、最大値は0 ($x=0$), 最小値は-1 ($x=1$)

- $a = 2$のとき、最大値は0 ($x=0,2$), 最小値は-1 ($x=1$)

- $a > 2$のとき、最大値は$a^2 - 2a$ ($x=a$), 最小値は-1 ($x=1$)

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3. 最終的な答え

**(1) の答え**

$m$ の最大値：$11$

**(2) の答え**

- $0 < a < 2$のとき、最大値：$0$、最小値：$-1$

- $a = 2$のとき、最大値：$0$、最小値：$-1$

- $a > 2$のとき、最大値：$a^2 - 2a$、最小値：$-1$