次の不定積分を求め、空欄を埋めよ。 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x}} dx = \log | \text{ア} + \sqrt{\text{イ}} | + C$ 選択肢は以下の通り。 1. $x+1$

1. 問題の内容

次の不定積分を求め、空欄を埋めよ。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x}} dx = \log | \text{ア} + \sqrt{\text{イ}} | + C$

選択肢は以下の通り。

1. $x+1$

2. $2x+2$

3. $x^2 + 2x$

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を平方完成します。

$x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$

与えられた積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2 - 1}} dx$

ここで、$u = x+1$ と置換すると、$du = dx$ となります。積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}} du$

この積分は、$\cosh^{-1}(u) + C$ または $\log |u + \sqrt{u^2 - 1}| + C$ で表されます。問題の形式から、後者の形式を選びます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}} du = \log |u + \sqrt{u^2 - 1}| + C$

$u = x+1$ を代入して元に戻します。

$\log |(x+1) + \sqrt{(x+1)^2 - 1}| + C$

$\log |(x+1) + \sqrt{x^2 + 2x}| + C$

従って、ア = $x+1$、イ = $x^2 + 2x$ です。

3. 最終的な答え

ア：

1. $x+1$

イ：

3. $x^2 + 2x$