定積分 $\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + x - 1) dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + x - 1) dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を積分します。

$\int (x^3 - 3x^2 + x - 1) dx = \frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{x^2}{2} - x + C$

次に、積分範囲の上端と下端を代入して計算します。

$\left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{x^2}{2} - x \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{1^4}{4} - 1^3 + \frac{1^2}{2} - 1 \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - (-1)^3 + \frac{(-1)^2}{2} - (-1) \right)$

$= \left( \frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{2} - 1 \right) - \left( \frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} + 1 \right)$

$= \frac{1}{4} - 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - 2 - \frac{1}{2}$

$= -4$

3. 最終的な答え

-4