等比数列 $\{a_n\}$ において、第2項が9、第4項が81であるとき、この数列の初項と公比を求め、一般項を求めよ。

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ において、第2項が9、第4項が81であるとき、この数列の初項と公比を求め、一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表される。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項番号である。

問題文より、第2項が9、第4項が81なので、以下の式が成り立つ。

$a_2 = a_1 r^{2-1} = a_1 r = 9$

$a_4 = a_1 r^{4-1} = a_1 r^3 = 81$

この二つの式から $a_1$ と $r$ を求める。$a_1 r^3 = 81$ を $a_1 r = 9$ で割ると、

$\frac{a_1 r^3}{a_1 r} = \frac{81}{9}$

$r^2 = 9$

$r = \pm 3$

$r = 3$ のとき、$a_1 r = 9$ より、$a_1 \cdot 3 = 9$ なので、$a_1 = 3$。

$r = -3$ のとき、$a_1 r = 9$ より、$a_1 \cdot (-3) = 9$ なので、$a_1 = -3$。

したがって、

(i) $a_1 = 3$, $r = 3$ のとき、一般項は $a_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$

(ii) $a_1 = -3$, $r = -3$ のとき、一般項は $a_n = -3 \cdot (-3)^{n-1} = (-3)^n$

3. 最終的な答え

$a_1 = 3, r = 3$ のとき $a_n = 3^n$

$a_1 = -3, r = -3$ のとき $a_n = (-3)^n$