20本のくじの中に当たりくじが3本ある。 (1) 同時に3本引くとき、少なくとも1本が当たりくじである確率を求める。 (2) 同時に4本引くとき、当たりくじが2本以下である確率を求める。

1. 問題の内容

20本のくじの中に当たりくじが3本ある。

(1) 同時に3本引くとき、少なくとも1本が当たりくじである確率を求める。

(2) 同時に4本引くとき、当たりくじが2本以下である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 少なくとも1本が当たりくじである確率は、1から全て外れの確率を引くことで求められる。

全ての引き方の総数は$_{20}C_3$通り。

3本とも外れの確率は、外れくじ17本から3本引く場合の数$_{17}C_3$を、全体の引き方の総数$_{20}C_3$で割る。

したがって、少なくとも1本が当たりくじである確率は、

$1 - \frac{_{17}C_3}{_{20}C_3}$

$_{17}C_3 = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 17 \times 8 \times 5 = 680$

$_{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 20 \times 19 \times 3 = 1140$

よって、求める確率は

$1 - \frac{680}{1140} = 1 - \frac{34}{57} = \frac{57 - 34}{57} = \frac{23}{57}$

(2) 当たりくじが2本以下である確率は、当たりくじが0本、1本、2本である確率の和である。

全ての引き方の総数は$_{20}C_4$通り。

当たりくじが0本の場合、外れくじ17本から4本引く場合の数$_{17}C_4$。

当たりくじが1本の場合、当たりくじ3本から1本選び、外れくじ17本から3本引く場合の数$_{3}C_1 \times _{17}C_3$。

当たりくじが2本の場合、当たりくじ3本から2本選び、外れくじ17本から2本引く場合の数$_{3}C_2 \times _{17}C_2$。

したがって、求める確率は

$\frac{_{17}C_4 + _{3}C_1 \times _{17}C_3 + _{3}C_2 \times _{17}C_2}{_{20}C_4}$

$_{17}C_4 = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 17 \times 4 \times 5 \times 7 = 2380$

$_{3}C_1 \times _{17}C_3 = 3 \times \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 17 \times 8 \times 5 = 3 \times 680 = 2040$

$_{3}C_2 \times _{17}C_2 = 3 \times \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 3 \times 17 \times 8 = 3 \times 136 = 408$

$_{20}C_4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5 \times 19 \times 3 \times 17 = 4845$

$\frac{2380 + 2040 + 408}{4845} = \frac{4828}{4845}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{23}{57}$

(2) $\frac{4828}{4845}$