赤玉4個、青玉3個、白玉2個が入った袋から、4個の玉を同時に取り出す。 (1) 取り出した4個の玉の中に白玉が入っていない確率を求める。 (2) 取り出した4個の玉の中に青玉が入っている確率を求める。 (3) 取り出した4個の玉の中に赤玉、青玉、白玉のすべてが入っている確率を求める。

1. 問題の内容

赤玉4個、青玉3個、白玉2個が入った袋から、4個の玉を同時に取り出す。

(1) 取り出した4個の玉の中に白玉が入っていない確率を求める。

(2) 取り出した4個の玉の中に青玉が入っている確率を求める。

(3) 取り出した4個の玉の中に赤玉、青玉、白玉のすべてが入っている確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、全事象の場合の数を計算する。

全事象は、9個の玉から4個を選ぶ組み合わせなので、${}_9 C_4$となる。

(1) 白玉が入っていない確率

白玉が入っていないということは、赤玉4個と青玉3個の中から4個を選ぶということである。

よって、赤玉と青玉の中から4個を選ぶ組み合わせは、${}_7 C_4$となる。

したがって、求める確率は、

$$$$

\frac{{}_7 C_4}{{}_9 C_4} = \frac{\frac{7!}{4!3!}}{\frac{9!}{4!5!}} = \frac{7!}{4!3!} \cdot \frac{4!5!}{9!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{35}{126} = \frac{5}{18}

$$$$

(2) 青玉が入っている確率

青玉が入っていない確率を求め、1から引くことで求める。

青玉が入っていないということは、赤玉4個と白玉2個の中から4個を選ぶということである。

しかし、赤玉4個と白玉2個の合計は6個であるため、4個選ぶことができる。

赤玉4個と白玉2個の中から4個を選ぶ組み合わせは、${}_6 C_4$となる。

したがって、青玉が入っていない確率は、

$$$$

\frac{{}_6 C_4}{{}_9 C_4} = \frac{\frac{6!}{4!2!}}{\frac{9!}{4!5!}} = \frac{6!}{4!2!} \cdot \frac{4!5!}{9!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{15}{126} = \frac{5}{42}

$$$$

したがって、青玉が入っている確率は、

$$$$

1 - \frac{5}{42} = \frac{42-5}{42} = \frac{37}{42}

$$$$

(3) 赤玉、青玉、白玉のすべてが入っている確率

赤玉、青玉、白玉のすべてが入っているためには、

(赤1,青1,白2), (赤1,青2,白1), (赤2,青1,白1)

の3パターンが考えられる。

(赤1,青1,白2)の場合：${}_4 C_1 \cdot {}_3 C_1 \cdot {}_2 C_2 = 4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$

(赤1,青2,白1)の場合：${}_4 C_1 \cdot {}_3 C_2 \cdot {}_2 C_1 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$

(赤2,青1,白1)の場合：${}_4 C_2 \cdot {}_3 C_1 \cdot {}_2 C_1 = 6 \cdot 3 \cdot 2 = 36$

よって、

$$$$

\frac{12 + 24 + 36}{{}_9 C_4} = \frac{72}{126} = \frac{4}{7}

$$$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{18}$

(2) $\frac{37}{42}$

(3) $\frac{4}{7}$