与えられたデータ $x_1, x_2, ..., x_n$ を、$y_i = ax_i + b$ という変換によって新しいデータ $y_1, y_2, ..., y_n$ を得る。ここで、a と b は定数である。以下の3つの問いに答える。 (1) $y$ の平均値 $\bar{y}$ が $\bar{y} = a\bar{x} + b$ で与えられることを示す。ここで $\bar{x}$ は $x$ の平均値である。 (2) $y$ の分散 $s_y^2$ を、$x$ の分散 $s_x^2$ と、$a, b$ の中から必要なものを用いて表す。 (3) $y$ の標準偏差 $s_y$ を、$a, b, \bar{x}, s_x$ の中から必要なものを用いて表す。

1. 問題の内容

与えられたデータ $x_1, x_2, ..., x_n$ を、$y_i = ax_i + b$ という変換によって新しいデータ $y_1, y_2, ..., y_n$ を得る。ここで、a と b は定数である。以下の3つの問いに答える。

(1) $y$ の平均値 $\bar{y}$ が $\bar{y} = a\bar{x} + b$ で与えられることを示す。ここで $\bar{x}$ は $x$ の平均値である。

(2) $y$ の分散 $s_y^2$ を、$x$ の分散 $s_x^2$ と、$a, b$ の中から必要なものを用いて表す。

(3) $y$ の標準偏差 $s_y$ を、$a, b, \bar{x}, s_x$ の中から必要なものを用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $y$ の平均値 $\bar{y}$ を計算する。

$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (ax_i + b) = \frac{1}{n} (a \sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} b) = \frac{1}{n} (a \sum_{i=1}^{n} x_i + nb) = a \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i + b = a\bar{x} + b$

したがって、$\bar{y} = a\bar{x} + b$ である。

(2) $y$ の分散 $s_y^2$ を計算する。

$s_y^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (ax_i + b - (a\bar{x} + b))^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (ax_i - a\bar{x})^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a^2 (x_i - \bar{x})^2 = a^2 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = a^2 s_x^2$

したがって、$s_y^2 = a^2 s_x^2$ である。

(3) $y$ の標準偏差 $s_y$ を計算する。

$s_y = \sqrt{s_y^2} = \sqrt{a^2 s_x^2} = |a| s_x$

したがって、$s_y = |a| s_x$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\bar{y} = a\bar{x} + b$

(2) $s_y^2 = a^2 s_x^2$

(3) $s_y = |a| s_x$