得点 $x$ から偏差値 $y$ を算出する式が $y = 50 + \frac{10(x-\bar{x})}{s_x}$ で与えられているとき、偏差値 $y$ の平均値 $\bar{y}$ および標準偏差 $s_y$ を求める。ただし、$\bar{x}$ は $x$ の平均値、$s_x$ は $x$ の標準偏差である。

確率論・統計学偏差値平均値標準偏差統計
2025/7/24

1. 問題の内容

得点 xx から偏差値 yy を算出する式が y=50+10(xxˉ)sxy = 50 + \frac{10(x-\bar{x})}{s_x} で与えられているとき、偏差値 yy の平均値 yˉ\bar{y} および標準偏差 sys_y を求める。ただし、xˉ\bar{x}xx の平均値、sxs_xxx の標準偏差である。

2. 解き方の手順

まず、偏差値 yy の平均値 yˉ\bar{y} を求める。
yˉ\bar{y}yy の式の xxxˉ\bar{x} に置き換えることで求まる。
yˉ=50+10(xˉxˉ)sx=50+10(0)sx=50+0=50\bar{y} = 50 + \frac{10(\bar{x} - \bar{x})}{s_x} = 50 + \frac{10(0)}{s_x} = 50 + 0 = 50
次に、偏差値 yy の標準偏差 sys_y を求める。
標準偏差の定義より、sys_ysxs_xyy の式の xx にかかる係数をかけたものに等しい。
yy の式の xx にかかる係数は 10sx\frac{10}{s_x} であるから、sys_y は以下のようになる。
sy=10sxsx=10s_y = \left| \frac{10}{s_x} \right| s_x = 10

3. 最終的な答え

平均値: yˉ=50\bar{y} = 50
標準偏差: sy=10s_y = 10

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