座席が4つずつある2つのボートに6人を分乗させる場合の数を求める問題です。 (1) ボートは区別するが、人も座席も区別しない場合 (2) 人もボートも区別するが、どの人がどの座席に着くかは区別しない場合

1. 問題の内容

座席が4つずつある2つのボートに6人を分乗させる場合の数を求める問題です。

(1) ボートは区別するが、人も座席も区別しない場合

(2) 人もボートも区別するが、どの人がどの座席に着くかは区別しない場合

2. 解き方の手順

(1) ボートは区別するが、人も座席も区別しない場合

この場合、各ボートに乗る人数のみが重要になります。

考えられる人数配分は以下の通りです。

(6,0), (5,1), (4,2), (3,3)

ここで(6,0)は、一方のボートに6人乗り、もう一方のボートに誰も乗らないことを意味します。

(5,1)は、一方のボートに5人乗り、もう一方のボートに1人乗ることを意味します。

(4,2)は、一方のボートに4人乗り、もう一方のボートに2人乗ることを意味します。

(3,3)は、一方のボートに3人乗り、もう一方のボートに3人乗ることを意味します。

ボートは区別するので、(6,0)と(0,6)は異なる場合です。同様に、(5,1)と(1,5), (4,2)と(2,4)も異なる場合です。しかし(3,3)の場合は2つのボートに乗る人数が同じなので、重複して数えないようにします。

したがって、場合の数は $3 + 1 = 4$になります。

(6,0), (5,1), (4,2), (3,3)と（0,6),(1,5),(2,4)をそれぞれ区別するので、

場合の数は$4+3=7$通りになります。

(2) 人もボートも区別するが、どの人がどの座席に着くかは区別しない場合

この場合、どの人がどのボートに乗るかのみが重要になります。

考えられる人数配分は以下の通りです。

(6,0), (5,1), (4,2), (3,3)

(6,0)の場合、6人の中から片方のボートに乗る6人を選ぶので、${}_6 C_6 = 1$通り。もう一方のボートに乗る人は0人なので、${}_0 C_0 = 1$通り。したがって、$1 \times 1 = 1$通り。ボートは区別するので、一方のボートに6人が乗る場合は2通り。

(5,1)の場合、6人の中から片方のボートに乗る5人を選ぶので、${}_6 C_5 = 6$通り。残りの1人がもう一方のボートに乗るので、${}_1 C_1 = 1$通り。したがって、$6 \times 1 = 6$通り。ボートは区別するので、$6 \times 2 = 12$通り。

(4,2)の場合、6人の中から片方のボートに乗る4人を選ぶので、${}_6 C_4 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。残りの2人がもう一方のボートに乗るので、${}_2 C_2 = 1$通り。したがって、$15 \times 1 = 15$通り。ボートは区別するので、$15 \times 2 = 30$通り。

(3,3)の場合、6人の中から片方のボートに乗る3人を選ぶので、${}_6 C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。残りの3人がもう一方のボートに乗るので、${}_3 C_3 = 1$通り。ただし、この場合は2つのボートに乗る人数が同じなので、選ぶ順番は区別しない。したがって、$20 / 2 = 10$通り。ボートの区別はすでに考慮したので、これは10通り。

したがって、場合の数は $2 + 12 + 30 + 10 = 54$通り。

3. 最終的な答え

(1) 7通り

(2) 54通り