AとBの2人がゲームを繰り返し行う。引き分けはないものとし、1回のゲームでAが勝つ確率は $\frac{1}{2}$ である。先に4回勝った方を優勝とするとき、Aが4勝2敗で優勝する確率を求めよ。

1. 問題の内容

AとBの2人がゲームを繰り返し行う。引き分けはないものとし、1回のゲームでAが勝つ確率は $\frac{1}{2}$ である。先に4回勝った方を優勝とするとき、Aが4勝2敗で優勝する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

Aが4勝2敗で優勝する場合、6試合目でAが4勝目をあげる必要がある。つまり、5試合目までにAが3勝2敗している必要がある。

まず、5試合でAが3勝2敗する確率を求める。これは反復試行の確率の公式を用いることができる。1回の試行でAが勝つ確率 $p$ は $\frac{1}{2}$ であり、負ける確率 $q$ も $\frac{1}{2}$ である。5回の試行でAが3回勝つ確率は、

${}_5C_3 (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^2 = {}_5C_3 (\frac{1}{2})^5$

となる。${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ であるから、

${}_5C_3 (\frac{1}{2})^5 = 10 \times (\frac{1}{2})^5 = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

次に、6試合目でAが勝つ確率は $\frac{1}{2}$ である。したがって、Aが4勝2敗で優勝する確率は、5試合でAが3勝2敗し、6試合目でAが勝つ確率をかけることで求められる。

$\frac{5}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{32}$

3. 最終的な答え

Aが4勝2敗で優勝する確率は $\frac{5}{32}$ である。