箱の中にAが5枚、Bが3枚、Cが2枚の計10枚のカードが入っている。この箱からカードを3回取り出す試行について、以下の確率を求める。 (1) 取り出すごとにカードを箱に戻す場合、1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率。 (2) 取り出したカードを箱に戻さない場合、1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率。

1. 問題の内容

箱の中にAが5枚、Bが3枚、Cが2枚の計10枚のカードが入っている。この箱からカードを3回取り出す試行について、以下の確率を求める。

(1) 取り出すごとにカードを箱に戻す場合、1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率。

(2) 取り出したカードを箱に戻さない場合、1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率。

2. 解き方の手順

(1) カードを取り出すごとに箱に戻す場合

1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率は、1回目と3回目がともにAである確率、ともにBである確率、ともにCである確率の和で求められる。

- 1回目と3回目がともにAである確率:

$P(A_1 \cap A_3) = P(A_1) \times P(A_3) = \frac{5}{10} \times \frac{5}{10} = \frac{25}{100}$

- 1回目と3回目がともにBである確率:

$P(B_1 \cap B_3) = P(B_1) \times P(B_3) = \frac{3}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{100}$

- 1回目と3回目がともにCである確率:

$P(C_1 \cap C_3) = P(C_1) \times P(C_3) = \frac{2}{10} \times \frac{2}{10} = \frac{4}{100}$

したがって、求める確率は

$\frac{25}{100} + \frac{9}{100} + \frac{4}{100} = \frac{38}{100} = \frac{19}{50}$

(2) 取り出したカードを箱に戻さない場合

1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率は、1回目と3回目がともにAである確率、ともにBである確率、ともにCである確率の和で求められる。

- 1回目と3回目がともにAである確率:

$P(A_1 \cap A_3) = P(A_1) \times P(A_3 | A_1) = \frac{5}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{90}$

- 1回目と3回目がともにBである確率:

$P(B_1 \cap B_3) = P(B_1) \times P(B_3 | B_1) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90}$

- 1回目と3回目がともにCである確率:

$P(C_1 \cap C_3) = P(C_1) \times P(C_3 | C_1) = \frac{2}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{2}{90}$

したがって、求める確率は

$\frac{20}{90} + \frac{6}{90} + \frac{2}{90} = \frac{28}{90} = \frac{14}{45}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{19}{50}$

(2) $\frac{14}{45}$