母平均 $p$、母分散 $p(1-p)$ のベルヌーイ母集団からのサイズ 3 の標本変量 $X_1, X_2, X_3$ について、3つの統計量 $T_1 = X_1$, $T_2 = \frac{X_1 + X_2}{2}$, $T_3 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}$ を考える。 (a) 次の 1〜4 の記述のうち、正しいものを一つ選ぶ。 1. 期待値 $E(T_1)$ は期待値 $E(T_2)$ より大きい。

1. 問題の内容

母平均 $p$、母分散 $p(1-p)$ のベルヌーイ母集団からのサイズ 3 の標本変量 $X_1, X_2, X_3$ について、3つの統計量 $T_1 = X_1$, $T_2 = \frac{X_1 + X_2}{2}$, $T_3 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}$ を考える。

(a) 次の 1〜4 の記述のうち、正しいものを一つ選ぶ。

1. 期待値 $E(T_1)$ は期待値 $E(T_2)$ より大きい。

2. 期待値 $E(T_1)$ は期待値 $E(T_3)$ より大きい。

3. 期待値 $E(T_2)$ は期待値 $E(T_3)$ より大きい。

4. 期待値 $E(T_1)$ と期待値 $E(T_2)$ と期待値 $E(T_3)$ は全て等しい。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの期待値を計算する。ベルヌーイ分布に従う確率変数 $X_i$ の期待値は $E(X_i) = p$ である。

$E(T_1) = E(X_1) = p$

$E(T_2) = E(\frac{X_1 + X_2}{2}) = \frac{1}{2}E(X_1 + X_2) = \frac{1}{2}(E(X_1) + E(X_2)) = \frac{1}{2}(p + p) = \frac{1}{2}(2p) = p$

$E(T_3) = E(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}) = \frac{1}{3}E(X_1 + X_2 + X_3) = \frac{1}{3}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)) = \frac{1}{3}(p + p + p) = \frac{1}{3}(3p) = p$

よって、$E(T_1) = E(T_2) = E(T_3) = p$ となる。

1. 期待値 $E(T_1)$ は期待値 $E(T_2)$ より大きい。これは誤り。

2. 期待値 $E(T_1)$ は期待値 $E(T_3)$ より大きい。これは誤り。

3. 期待値 $E(T_2)$ は期待値 $E(T_3)$ より大きい。これは誤り。

4. 期待値 $E(T_1)$ と期待値 $E(T_2)$ と期待値 $E(T_3)$ は全て等しい。これは正しい。

したがって、4が正しい。

3. 最終的な答え

4