母平均 $p$、母分散 $p(1-p)$ のベルヌーイ母集団からのサイズ3の標本変量 $X_1, X_2, X_3$ について、3つの統計量 $T_1 = X_1$, $T_2 = \frac{X_1 + X_2}{2}$, $T_3 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}$ を考える。 このとき、分散 $V(T_1)$, $V(T_2)$, $V(T_3)$ の大小関係について、正しい記述を選ぶ問題です。

1. 問題の内容

母平均 $p$、母分散 $p(1-p)$ のベルヌーイ母集団からのサイズ3の標本変量 $X_1, X_2, X_3$ について、3つの統計量 $T_1 = X_1$, $T_2 = \frac{X_1 + X_2}{2}$, $T_3 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}$ を考える。

このとき、分散 $V(T_1)$, $V(T_2)$, $V(T_3)$ の大小関係について、正しい記述を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$V(T_1)$, $V(T_2)$, $V(T_3)$ をそれぞれ計算します。

$V(X_i) = p(1-p)$ であり、$X_i$ は独立であることから、$Cov(X_i, X_j) = 0$ （$i \neq j$）が成り立ちます。

$V(T_1) = V(X_1) = p(1-p)$

$V(T_2) = V(\frac{X_1 + X_2}{2}) = \frac{1}{4}(V(X_1) + V(X_2)) = \frac{1}{4}(p(1-p) + p(1-p)) = \frac{1}{2}p(1-p)$

$V(T_3) = V(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}) = \frac{1}{9}(V(X_1) + V(X_2) + V(X_3)) = \frac{1}{9}(p(1-p) + p(1-p) + p(1-p)) = \frac{1}{3}p(1-p)$

したがって、$V(T_1) = p(1-p)$, $V(T_2) = \frac{1}{2}p(1-p)$, $V(T_3) = \frac{1}{3}p(1-p)$ となります。

$p(1-p) > 0$ なので、

$V(T_1) > V(T_2)$ かつ $V(T_1) > V(T_3)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

分散 $V(T_1)$ は分散 $V(T_2)$ と分散 $V(T_3)$ より大きい。

したがって、答えは3です。