母平均が $\mu$、母分散が $\sigma^2$ である母集団から無作為標本 $X_1, X_2, \dots, X_n$ を抽出し、標本平均を $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ と定義する。このとき、標本平均 $\bar{X}$ の期待値 $E(\bar{X})$ を選択肢の中から選ぶ。

1. 問題の内容

母平均が $\mu$、母分散が $\sigma^2$ である母集団から無作為標本 $X_1, X_2, \dots, X_n$ を抽出し、標本平均を $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ と定義する。このとき、標本平均 $\bar{X}$ の期待値 $E(\bar{X})$ を選択肢の中から選ぶ。

2. 解き方の手順

期待値の線形性より、

$E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i)$

母集団からの無作為標本なので、$E(X_i) = \mu$ である。

したがって、

$E(\bar{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mu = \frac{1}{n} (n\mu) = \mu$

3. 最終的な答え

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