母平均が$\mu$、母分散が$\sigma^2$である母集団からの無作為標本 $X_1, X_2, ..., X_n$ をとります。標本平均を $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ と定義します。問題は、標本平均$\bar{X}$の分散 $V(\bar{X})$ を求めることです。選択肢は以下の通りです。 1. $\sigma^2$

1. 問題の内容

母平均が$\mu$、母分散が$\sigma^2$である母集団からの無作為標本 $X_1, X_2, ..., X_n$ をとります。標本平均を $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ と定義します。問題は、標本平均$\bar{X}$の分散 $V(\bar{X})$ を求めることです。選択肢は以下の通りです。

1. $\sigma^2$

2. $\frac{\sigma^2}{n^2}$

3. $\frac{\sigma^2}{n}$

4. $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

2. 解き方の手順

標本平均 $\bar{X}$ の分散を計算します。各 $X_i$ は独立で、分散が $\sigma^2$ であることに注意します。分散の性質 $V(aX) = a^2V(X)$ と $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ (X,Yが独立な場合) を利用します。

$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ なので、

$V(\bar{X}) = V(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)$

$= (\frac{1}{n})^2 V(\sum_{i=1}^{n}X_i)$

$= \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n}V(X_i)$

$= \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n}\sigma^2$

$= \frac{1}{n^2} (n\sigma^2)$

$= \frac{\sigma^2}{n}$

3. 最終的な答え

標本平均$\bar{X}$の分散は $\frac{\sigma^2}{n}$ です。したがって、選択肢の3が正解です。