母平均が $\mu$、母分散が $\sigma^2$ である母集団からの無作為標本 $X_1, X_2, ..., X_n$ が与えられたとき、標本平均 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ の分散 $V(\bar{X})$ を求める問題です。

1. 問題の内容

母平均が $\mu$、母分散が $\sigma^2$ である母集団からの無作為標本 $X_1, X_2, ..., X_n$ が与えられたとき、標本平均 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ の分散 $V(\bar{X})$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分散の性質を利用します。

$V(aX) = a^2V(X)$

$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ （XとYが独立の場合）

標本平均の分散は以下のように計算できます。

$V(\bar{X}) = V(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i) = \frac{1}{n^2}V(\sum_{i=1}^{n}X_i)$

ここで、$X_i$ は独立な確率変数であり、$V(X_i) = \sigma^2$ であるので、

$V(\sum_{i=1}^{n}X_i) = \sum_{i=1}^{n}V(X_i) = \sum_{i=1}^{n}\sigma^2 = n\sigma^2$

したがって、

$V(\bar{X}) = \frac{1}{n^2}n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sigma^2}{n}$

選択肢の中では、3が正解です。

解答は、３。