2次関数 $f(x) = x^2 + 2ax - 2a + 3$ が与えられている。 (1) $a = -3$ のとき、不等式 $f(x) > 0$ を満たす $x$ の範囲を求める。 (2) 方程式 $f(x) = 0$ が実数解をもち、すべての解が $-4 \le x \le 0$ の範囲にあるような $a$ の範囲を求める。 (3) $2 \le x \le 3$ を満たすすべての $x$ に対して、不等式 $f(x) \le 0$ が成り立つような $a$ の範囲を求める。 (4) $-4 \le x \le 0$ を満たす少なくとも一つの $x$ に対して、不等式 $f(x) > 0$ が成り立つような $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 + 2ax - 2a + 3$ が与えられている。

(1) $a = -3$ のとき、不等式 $f(x) > 0$ を満たす $x$ の範囲を求める。

(2) 方程式 $f(x) = 0$ が実数解をもち、すべての解が $-4 \le x \le 0$ の範囲にあるような $a$ の範囲を求める。

(3) $2 \le x \le 3$ を満たすすべての $x$ に対して、不等式 $f(x) \le 0$ が成り立つような $a$ の範囲を求める。

(4) $-4 \le x \le 0$ を満たす少なくとも一つの $x$ に対して、不等式 $f(x) > 0$ が成り立つような $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = -3$ のとき、$f(x) = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 > 0$ となる。

$(x - 3)^2 > 0$ は $x \ne 3$ のとき成り立つので、$x < 3, 3 < x$ となる。

(2) $f(x) = x^2 + 2ax - 2a + 3 = 0$ が実数解をもつ条件は、判別式 $D \ge 0$ である。

$D/4 = a^2 - (-2a + 3) = a^2 + 2a - 3 = (a + 3)(a - 1) \ge 0$

よって、$a \le -3$ または $a \ge 1$ である。

解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -2a, \alpha\beta = -2a + 3$ である。

$-4 \le \alpha, \beta \le 0$ より、 $-8 \le \alpha + \beta \le 0$ かつ $0 \le \alpha\beta \le 16$ である。

$-8 \le -2a \le 0$ より、$0 \le a \le 4$ である。

$0 \le -2a + 3 \le 16$ より、$-13 \le -2a \le 13$ つまり、$-\frac{13}{2} \le a \le \frac{13}{2}$ である。

$f(-4) = 16 - 8a - 2a + 3 = 19 - 10a \ge 0$ より、$a \le \frac{19}{10}$ である。

$f(0) = -2a + 3 \ge 0$ より、$a \le \frac{3}{2}$ である。

$a \ge 1$ と $a \le \frac{19}{10}$ と $a \le \frac{3}{2}$ の共通範囲は、$1 \le a \le \frac{19}{10}$ である。

(3) $2 \le x \le 3$ で $f(x) \le 0$ であるためには、$f(2) \le 0$ かつ $f(3) \le 0$ であればよい。

$f(2) = 4 + 4a - 2a + 3 = 2a + 7 \le 0$ より、$a \le -\frac{7}{2}$ である。

$f(3) = 9 + 6a - 2a + 3 = 4a + 12 \le 0$ より、$a \le -3$ である。

よって、$a \le -\frac{7}{2}$ である。

(4) $-4 \le x \le 0$ で $f(x) > 0$ となる $x$ が少なくとも一つ存在するためには、$f(x) = 0$ が $-4 \le x \le 0$ の範囲に解を持たない場合を除けばよい。

$f(x) > 0$ が常に成り立つ場合は、判別式 $D < 0$ であればよい。

$(a+3)(a-1) < 0$ より、$-3 < a < 1$ である。

$-4 \le x \le 0$ で $f(x) > 0$ となる $x$ が少なくとも一つ存在するということは、$a < \frac{19}{10}$ でない場合を除けばよい。

$a < \frac{19}{10}$

3. 最終的な答え

(1) ア: 3, イ: 3

(2) ウ: 1, エ: 19, オ: 10

(3) カキ: -7, ク: 2

(4) ケコ: 19, サシ: 10