$\sin \theta + \cos \theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin \theta \cos \theta$ の値を求める。$\sin \theta + \cos \theta = \frac{3}{4}$ の両辺を2乗すると、

$$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \left( \frac{3}{4} \right)^2$$

$$\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{9}{16}$$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$$1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{9}{16}$$

$$2\sin \theta \cos \theta = \frac{9}{16} - 1 = -\frac{7}{16}$$

$$\sin \theta \cos \theta = -\frac{7}{32}$$

次に、$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$ の値を求める。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であるから、

$$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{7}{32}$ であるから、

$$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{-\frac{7}{32}} = -\frac{32}{7}$$

3. 最終的な答え

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{7}{32}$

$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = -\frac{32}{7}$