等比数列の和を求める問題です。 (1) 初項が1、公比が2、末項が128の等比数列の和を求めます。 (2) 初項が243、公比が$-1/3$、末項が3の等比数列の和を求めます。

1. 問題の内容

等比数列の和を求める問題です。

(1) 初項が1、公比が2、末項が128の等比数列の和を求めます。

(2) 初項が243、公比が$-1/3$、末項が3の等比数列の和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 初項 $a = 1$、公比 $r = 2$、末項 $l = 128$ の等比数列の和 $S$ を求めます。

まず、項数 $n$ を求めます。等比数列の一般項は $a_n = ar^{n-1}$ で表されるので、$128 = 1 \cdot 2^{n-1}$ となります。

よって、$2^{n-1} = 128 = 2^7$ より、$n-1 = 7$ なので、$n = 8$ となります。

等比数列の和の公式 $S = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ を用いると、

$S = \frac{1(2^8 - 1)}{2-1} = \frac{256 - 1}{1} = 255$ となります。

(2) 初項 $a = 243$、公比 $r = -\frac{1}{3}$、末項 $l = 3$ の等比数列の和 $S$ を求めます。

まず、項数 $n$ を求めます。等比数列の一般項は $a_n = ar^{n-1}$ で表されるので、$3 = 243 \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1}$ となります。

よって、$(-\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{3}{243} = \frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = (-\frac{1}{3})^4$ より、$n-1 = 4$ なので、$n = 5$ となります。

等比数列の和の公式 $S = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ を用いると、

$S = \frac{243((-\frac{1}{3})^5 - 1)}{-\frac{1}{3}-1} = \frac{243(-\frac{1}{243} - 1)}{-\frac{4}{3}} = \frac{243(-\frac{244}{243})}{-\frac{4}{3}} = \frac{-244}{-\frac{4}{3}} = 244 \cdot \frac{3}{4} = 61 \cdot 3 = 183$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $255$

(2) $183$