数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \dots$ がある。この数列を、$\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right), \left(\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}\right), \left(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right), \dots$ のように群に分ける。初項から第 $n$ 項までの和が初めて2025を超えるとき、第 $n$ 項は何群に含まれているか？

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \dots$ がある。この数列を、$\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right), \left(\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}\right), \left(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right), \dots$ のように群に分ける。初項から第 $n$ 項までの和が初めて2025を超えるとき、第 $n$ 項は何群に含まれているか？

2. 解き方の手順

第 $k$ 群には $k$ 個の項が含まれる。第 $k$ 群の各項の分母は $k+1$ であり、分子は $1$ から $k$ までの整数である。

第 $k$ 群までの項数の合計 $N_k$ は、

$N_k = 1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}$

第 $k$ 群の和 $S_k$ は、

$S_k = \frac{1}{k+1} + \frac{2}{k+1} + \dots + \frac{k}{k+1} = \frac{1+2+\dots+k}{k+1} = \frac{\frac{k(k+1)}{2}}{k+1} = \frac{k}{2}$

第 $k$ 群までの数列の和 $T_k$ は、

$T_k = S_1 + S_2 + \dots + S_k = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \dots + \frac{k}{2} = \frac{1+2+\dots+k}{2} = \frac{\frac{k(k+1)}{2}}{2} = \frac{k(k+1)}{4}$

$T_k > 2025$ となる最小の $k$ を求める。

$\frac{k(k+1)}{4} > 2025$

$k(k+1) > 8100$

$k^2 + k - 8100 > 0$

$k \approx \sqrt{8100} = 90$

$k=89$ のとき、 $89(90)/4 = 2002.5 < 2025$

$k=90$ のとき、 $90(91)/4 = 2047.5 > 2025$

よって、初項から第 $n$ 項までの和が初めて2025を超えるのは、第90群のどこかの項である。

第90群までの項数は、$\frac{90(91)}{2} = 45(91) = 4095$

$T_{89} = \frac{89 \times 90}{4} = 89 \times 22.5 = 2002.5$

$T_{90} = \frac{90 \times 91}{4} = 90 \times 22.75 = 2047.5$

$T_{89} < 2025 < T_{90}$ なので、和が2025を超えるのは第90群の途中である。

従って、第 $n$ 項は第90群に含まれている。

$N_{k-1}<n \le N_k$のとき、$n$番目の項は第$k$群に含まれる。

$N_{89}=\frac{89(90)}{2} = 4005 < n \le \frac{90(91)}{2}=4095 = N_{90}$

3. 最終的な答え

第90群