数列が群に分けられており、第n群がn個の分数を含む。 (1) 初めて $\frac{1}{9}$ となるのが何項目かを求める。 (2) 150項目にある分数を求める。

1. 問題の内容

数列が群に分けられており、第n群がn個の分数を含む。

(1) 初めて $\frac{1}{9}$ となるのが何項目かを求める。

(2) 150項目にある分数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{9}$ は第9群に現れる。第n群の分数は $\frac{n}{9}, \frac{n-1}{9},..., \frac{1}{9}$。

第8群までの項の数は $1+2+3+4+5+6+7+8 = \frac{8(8+1)}{2} = 36$ 個。

$\frac{1}{9}$ は第9群の9番目の数である。したがって、初めて $\frac{1}{9}$ が現れるのは $36 + 9 = 45$ 項目。

(2) 第n群までの項の数の合計は $\frac{n(n+1)}{2}$。

$\frac{n(n+1)}{2} < 150$ を満たす最大の整数nを探す。

$n(n+1) < 300$。

$n = 17$ のとき $17 \times 18 = 306$。

$n = 16$ のとき $16 \times 17 = 272$。

したがって、150項目は第17群にある。

第16群までの項の数は $\frac{16 \times 17}{2} = 136$ 個。

150項目は、第17群の $150 - 136 = 14$ 番目の数である。

第17群の分数は $\frac{17}{17}, \frac{16}{17}, \frac{15}{17},..., \frac{1}{17}$。

第17群の14番目の数は $\frac{17-14+1}{17} = \frac{4}{17}$。

3. 最終的な答え

(1) 45項目

(2) $\frac{4}{17}$