数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とし、$S_n$ が次の関係式を満たす。 $S_1 = 1, \quad S_{n+1} = 3S_n + 2n - 2 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$ このとき、以下の問いに答えよ。 (1) $a_1, a_2$ を求めよ。 (2) $n \ge 2$ のとき、$a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表せ。 (3) $a_n$ を $n$ を用いて表せ。 (4) $a_n$ を 4 で割った余りを $b_n$ とする。このとき、$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とし、$S_n$ が次の関係式を満たす。

$S_1 = 1, \quad S_{n+1} = 3S_n + 2n - 2 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $a_1, a_2$ を求めよ。

(2) $n \ge 2$ のとき、$a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表せ。

(3) $a_n$ を $n$ を用いて表せ。

(4) $a_n$ を 4 で割った余りを $b_n$ とする。このとき、$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_1, a_2$ を求める。

$a_1 = S_1 = 1$

$S_2 = 3S_1 + 2(1) - 2 = 3(1) + 2 - 2 = 3$

$a_2 = S_2 - S_1 = 3 - 1 = 2$

(2) $n \ge 2$ のとき、$a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表す。

$S_{n+1} = 3S_n + 2n - 2$

$S_n = 3S_{n-1} + 2(n-1) - 2$

$a_{n+1} = S_{n+1} - S_n = (3S_n + 2n - 2) - S_n = 2S_n + 2n - 2$

$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$S_n = a_n + S_{n-1}$

$a_{n+1} = 2(a_n + S_{n-1}) + 2n - 2 = 2a_n + 2S_{n-1} + 2n - 2$

$S_n = \frac{1}{2}(a_{n+1} - 2n + 2)$

$S_{n-1} = \frac{1}{2}(a_n - 2(n-1) + 2) = \frac{1}{2}(a_n - 2n + 4)$

$a_{n+1} = S_{n+1} - S_n = 3S_n + 2n - 2 - S_n = 2S_n + 2n - 2$

また、$a_n = S_n - S_{n-1}$ より、$S_n = a_n + S_{n-1}$。

よって、$a_{n+1} = 2(a_n + S_{n-1}) + 2n - 2$。

ここで、$S_n = 3S_{n-1} + 2(n-1) - 2$ より、$S_{n-1} = \frac{S_n - 2n + 4}{3}$。

$a_{n+1} = 2S_n + 2n - 2 = 2(a_n + S_{n-1}) + 2n - 2 = 2a_n + 2S_{n-1} + 2n - 2$

$a_{n+1} = 2a_n + a_n - a_{n-1} + 2 = 3a_n - a_{n-1}$

$S_{n+1} = 3S_n + 2n - 2$

$S_n = 3S_{n-1} + 2(n-1) - 2$

辺々引くと

$S_{n+1} - S_n = 3(S_n - S_{n-1}) + 2$

$a_{n+1} = 3a_n + 2$

(3) $a_n$ を $n$ を用いて表す。

$a_{n+1} = 3a_n + 2$

$a_{n+1} + 1 = 3(a_n + 1)$

$a_n + 1 = (a_1 + 1)3^{n-1} = (1+1)3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}$

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$

(4) $a_n$ を 4 で割った余りを $b_n$ とする。$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k$ を求める。

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$

$3^1 \equiv 3 \pmod{4}$

$3^2 \equiv 1 \pmod{4}$

$3^3 \equiv 3 \pmod{4}$

$3^4 \equiv 1 \pmod{4}$

$3^{n-1}$ は、 $n$ が奇数のとき $3^{n-1} \equiv 1 \pmod{4}$、 $n$ が偶数のとき $3^{n-1} \equiv 3 \pmod{4}$

$2 \cdot 3^{n-1} - 1$ は、$n$ が奇数のとき $2 \cdot 1 - 1 \equiv 1 \pmod{4}$、 $n$ が偶数のとき $2 \cdot 3 - 1 \equiv 5 \equiv 1 \pmod{4}$

したがって、$a_n \equiv 1 \pmod{4}$ より、$b_n = 1$

$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k = \sum_{k=1}^{2n} a_k = S_{2n} = 2 \cdot 3^{2n-1} - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 1, a_2 = 2$

(2) $a_{n+1} = 3a_n + 2$

(3) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$

(4) $\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k = 3^{2n} - 1$

$S_{2n} = \frac{3S_{2n-1} + 2(2n-1) - 2}{3} = 3 S_{2n-1} + 4n - 4$

$a_k = 2 \cdot 3^{k-1} - 1$, $b_k = 1$

$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k = \sum_{k=1}^{2n} (2 \cdot 3^{k-1} - 1) = 2 \sum_{k=1}^{2n} 3^{k-1} - \sum_{k=1}^{2n} 1$

$\sum_{k=1}^{2n} 3^{k-1} = \frac{3^{2n} - 1}{3-1} = \frac{3^{2n} - 1}{2}$

$\sum_{k=1}^{2n} 1 = 2n$

$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k = 2 \cdot \frac{3^{2n} - 1}{2} - 2n = 3^{2n} - 1 - 2n$

$a_n=2\cdot 3^{n-1} -1$

$b_n = 1$

$\sum_{k=1}^{2n} a_kb_k = \sum_{k=1}^{2n} a_k = \sum_{k=1}^{2n} (2\cdot 3^{k-1}-1) = 2\sum_{k=1}^{2n}3^{k-1}-\sum_{k=1}^{2n}1 = 2\cdot\frac{1(3^{2n}-1)}{3-1}-2n =3^{2n}-1-2n$

最終的な答え

(1) $a_1=1, a_2=2$

(2) $a_{n+1} = 3a_n+2$

(3) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$

(4) $3^{2n} - 2n - 1$