数列 $5, 7, 11, 19, 35, \dots$ の一般項 $a_n$ を、階差数列を利用して求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $5, 7, 11, 19, 35, \dots$ の一般項 $a_n$ を、階差数列を利用して求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求めます。

$7-5 = 2$

$11-7 = 4$

$19-11 = 8$

$35-19 = 16$

階差数列は $2, 4, 8, 16, \dots$ となり、これは初項 $2$, 公比 $2$ の等比数列です。

したがって、階差数列の一般項 $b_n$ は $b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ と表せます。

数列 $a_n$ の一般項は、階差数列の性質から、以下のように表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \ge 2)$

$a_1 = 5$ であり、$b_k = 2^k$ であるから、

$a_n = 5 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k \quad (n \ge 2)$

等比数列の和の公式より、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2(2^{n-1} - 1) = 2^n - 2$

よって、

$a_n = 5 + 2^n - 2 = 2^n + 3 \quad (n \ge 2)$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^1 + 3 = 5$ となり、数列の最初の項と一致するので、この式は $n=1$ のときにも成り立ちます。

したがって、$a_n = 2^n + 3$ が一般項となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^n + 3$