数列 $\{a_n\}$ があり、その階差数列を $\{b_n\}$ とする。$n \geq 2$ のときに求めた一般項が $n=1$ で成立しない例を一つ挙げ、その特徴をまとめる。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、その階差数列を $\{b_n\}$ とする。$n \geq 2$ のときに求めた一般項が $n=1$ で成立しない例を一つ挙げ、その特徴をまとめる。

2. 解き方の手順

まず、階差数列を持つ数列 $\{a_n\}$ の一般項を $n \geq 2$ の場合に求める公式を記述する。

$n \geq 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$$

次に、この公式で求めた一般項が $n=1$ でも成立しない例を挙げる。

例えば、$a_1 = 1$ であり、$b_n = n$ である数列 $\{a_n\}$ を考える。

$n \geq 2$ のとき、

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2 - n + 2}{2}$$

この式に $n=1$ を代入すると、

$$a_1 = \frac{1^2 - 1 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

これは与えられた $a_1$ と一致する。

しかし、例えば $a_1 = 1$ であり、$b_n = 2^{n-1}$ である数列 $\{a_n\}$ を考える。

$n \geq 2$ のとき、

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + \sum_{k=0}^{n-2} 2^k = 1 + \frac{1 - 2^{n-1}}{1-2} = 1 + 2^{n-1} - 1 = 2^{n-1}$$

この式に $n=1$ を代入すると、

$$a_1 = 2^{1-1} = 2^0 = 1$$

これも与えられた $a_1$ と一致する。

では、 $a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 5$ という数列を考える。すると $b_1 = a_2 - a_1 = 1, b_2 = a_3 - a_2 = 3$ となる。

$b_n = 2n-1$ とすると、

$n \geq 2$ のとき、

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 1 + 2\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 1 + n(n-1) - (n-1) = n^2 - 2n + 2$$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 2(1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$

$n = 2$ のとき、$a_2 = 2^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$

$n = 3$ のとき、$a_3 = 3^2 - 2(3) + 2 = 9 - 6 + 2 = 5$

この例も $n=1$ で成立する。

$a_1 = 1, a_2 = 4, a_3 = 9$ という数列を考える。すると $b_1 = a_2 - a_1 = 3, b_2 = a_3 - a_2 = 5$ となる。

$b_n = 2n+1$ とすると、

$n \geq 2$ のとき、

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 1 + 2\frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 1 + n(n-1) + (n-1) = n^2$$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 1^2 = 1$

$n = 2$ のとき、$a_2 = 2^2 = 4$

$n = 3$ のとき、$a_3 = 3^2 = 9$

この例も $n=1$ で成立する。

一般に、階差数列 $\{b_n\}$ が簡単に表現できる場合、$n \geq 2$ で求めた一般項は $n=1$ でも成立しやすい。

例えば、$a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 4, a_4 = 6$という数列を考える。

すると、$b_1 = 1, b_2 = 1, b_3 = 2$となる。

この数列は階差数列の一般項が簡単には表現できない。

この数列に対して、$n \geq 2$ で求めた一般項が $n=1$ で成立しないようにする。

$a_n = n + f(n)$ とおき、$f(1)=1, f(2)=0, f(3)=1, f(4)=2$ となるような関数 $f(n)$ を探す。

例えば、$a_n = n + \frac{1}{6}(n-1)(n-2)(n-3)$.

このとき、$a_1 = 1 + \frac{1}{6}(0) = 1$ となり条件を満たさない。

$n=1$ で成立しない例として、$a_n = n + \sin(\pi n/2)$ がある。

$a_1 = 1 + \sin(\pi/2) = 1+1 = 2$, $a_2 = 2 + \sin(\pi) = 2+0 = 2$, $a_3 = 3 + \sin(3\pi/2) = 3 - 1 = 2$, $a_4 = 4 + \sin(2\pi) = 4$

すると、$b_1 = 0, b_2 = 0, b_3 = 2$となる。

この時，$n\ge 2$において，$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$で定義されるとき，$a_n$ は $n=1$ で定義される数列と一致しない。

例えば、$a_n = 2^n$ という数列を考える。

$a_1 = 2, a_2 = 4, a_3 = 8$

$b_n = a_{n+1} - a_n = 2^{n+1} - 2^n = 2^n(2-1) = 2^n$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 2 + \frac{2(1-2^{n-1})}{1-2} = 2 + 2^n - 2 = 2^n$

これだと成立する。

3. 最終的な答え

例: $a_n = n + \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right)$

特徴: 階差数列 $\{b_n\}$ が簡単な式で表せない場合、$n \geq 2$ で求めた一般項が $n=1$ で成立しないことがある。特に、数列の最初の項に特徴的な値を設定した場合、階差数列からの一般項との整合性が崩れることがある。