数列 1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, ... があります。 (1) $n$ を自然数としたとき、自然数 $n^2$ が初めて現れるのは第何項か。 (2) 第100項を求めよ。 (3) 初項から第100項までの和を求めよ。

はい、承知いたしました。数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

数列 1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, ... があります。

(1) $n$ を自然数としたとき、自然数 $n^2$ が初めて現れるのは第何項か。

(2) 第100項を求めよ。

(3) 初項から第100項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列の規則性を見つけます。数列は 1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, ... と続いています。この数列は、1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, ... のように、1, 4, 9, 16, 25, ... という平方数が現れる周期的な数列です。

具体的には、1 = $1^2$, 4 = $2^2$, 9 = $3^2$, 16 = $4^2$, 25 = $5^2$ となっています。

数列は、1, 4, 9, 16, 25, ...が現れるたびに1に戻っています。

$n^2$が初めて現れるのは、数列の第 $\frac{n(n+1)}{2}$ 項です。

例えば、$1^2$ = 1 は第1項、$2^2$ = 4 は第3項、$3^2$ = 9 は第6項、$4^2$ = 16 は第10項、$5^2$ = 25 は第15項です。

(2) 第100項を求めます。数列の周期性を利用します。

数列は 1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, ... というように、最初の $k$ 個の平方数 (1, 4, 9, ..., $k^2$) が順に現れるブロックが繰り返されています。

$n$番目のブロックの長さは$n$です。最初の$n$個の自然数の和は $\frac{n(n+1)}{2}$ です。

$100$項がどのブロックに含まれるかを調べます。

$\frac{n(n+1)}{2} \le 100$ となる最大の整数$n$を求めます。

$n=13$ のとき、$\frac{13 \times 14}{2} = 91$

$n=14$ のとき、$\frac{14 \times 15}{2} = 105$

よって、第100項は14番目のブロックに含まれます。具体的には、14番目のブロックの9番目の数です。数列は 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ... なので、14番目のブロックの9番目の数は $9^2 = 81$ ではありません。

最初の$1$項, 最初の$2$項, 最初の$3$項, ... を考えると

$100 - 91 = 9$ であるから、$14$番目のブロックの$9$番目の数です。したがって、第$100$項は $9^2 = 81$ ではありません。数列は 1, 4, 9, 16, 25, ... なので、$9$番目の項は $9^2=81$ です。

しかし、数列の規則を見ると、最初の数個のブロックは

1

1,4

1,4,9

1,4,9,16

1,4,9,16,25

...

となっています。

したがって、14番目のブロックは、1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169 となり、その9番目の数は$9^2 = 81$となります。

(3) 初項から第100項までの和を求めます。

$100$項までの数列に含まれるブロックは、$1, 2, ..., 13$番目のブロックと、$14$番目のブロックの最初の9項です。

各ブロックの平方数の和を計算します。

$S = \sum_{i=1}^{13} (\sum_{j=1}^{i} j^2) + \sum_{j=1}^9 j^2$

$\sum_{j=1}^i j^2 = \frac{i(i+1)(2i+1)}{6}$

$\sum_{i=1}^{13} \frac{i(i+1)(2i+1)}{6} = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{13} (2i^3 + 3i^2 + i) = \frac{1}{6} (2 \sum_{i=1}^{13} i^3 + 3 \sum_{i=1}^{13} i^2 + \sum_{i=1}^{13} i)$

$= \frac{1}{6} (2 (\frac{13 \times 14}{2})^2 + 3 \times \frac{13 \times 14 \times 27}{6} + \frac{13 \times 14}{2}) = \frac{1}{6} (2 \times 8281 + 3 \times 819 + 91) = \frac{1}{6} (16562 + 2457 + 91) = \frac{1}{6} \times 19110 = 3185$

$\sum_{j=1}^9 j^2 = \frac{9 \times 10 \times 19}{6} = 3 \times 5 \times 19 = 285$

したがって、初項から第100項までの和は $3185 + 285 = 3470$

3. 最終的な答え

(1) 第 $\frac{n(n+1)}{2}$ 項

(2) 第100項: 81

(3) 初項から第100項までの和: 3470