数列 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, ... の第 n 項を $a_n$ とする。この数列を 1 | 2, 2 | 3, 3, 3 | 4, 4, 4, 4 | 5, 5, 5, 5, 5 | 6, ... のように、k番目の区画にk個の数字が入るように区画に分ける。 (1) 第1区画から第20区画までに含まれる項の個数を求める。 (2) $a_{215}$ の値を求める。 (3) 第1区画から第20区画までに含まれる項の総和を求める。 (4) $a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n \geq 3000$ となる最小の自然数 n を求める。

1. 問題の内容

数列 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, ... の第 n 項を $a_n$ とする。この数列を 1 | 2, 2 | 3, 3, 3 | 4, 4, 4, 4 | 5, 5, 5, 5, 5 | 6, ... のように、k番目の区画にk個の数字が入るように区画に分ける。

(1) 第1区画から第20区画までに含まれる項の個数を求める。

(2) $a_{215}$ の値を求める。

(3) 第1区画から第20区画までに含まれる項の総和を求める。

(4) $a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n \geq 3000$ となる最小の自然数 n を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第1区画から第20区画までに含まれる項の個数は、各区画に含まれる項の個数の和である。これは、1から20までの自然数の和に等しい。

$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20(20+1)}{2} = \frac{20 \times 21}{2} = 10 \times 21 = 210$

(2) $a_{215}$ を求める。

まず、第k区画の末項が数列の何番目の項かを求める。第k区画の末項は、1からkまでの自然数の和番目の項である。

$\sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$

$\frac{k(k+1)}{2} < 215$ を満たす最大の整数 k を探す。

$k=20$ のとき、 $\frac{20 \times 21}{2} = 210 < 215$

$k=21$ のとき、 $\frac{21 \times 22}{2} = 21 \times 11 = 231 > 215$

したがって、$a_{215}$ は第21区画にあり、第21区画の項はすべて21である。

よって、$a_{215} = 21$

(3) 第1区画から第20区画までに含まれる項の総和を求める。各区画には、その区画の番号と同じ値が、その区画の番号と同じ個数だけ含まれている。したがって、第k区画の項の和は $k \times k = k^2$ である。

第1区画から第20区画までの総和は、

$\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(20+1)(2 \times 20 + 1)}{6} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = \frac{10 \times 7 \times 41}{1} = 2870$

(4) $a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n \geq 3000$ となる最小の自然数 n を求める。

第20区画までの総和は2870なので、少なくとも第20区画より先まで足し合わせる必要がある。

第21区画の総和は $21^2 = 441$ であり、$2870 + 441 = 3311 > 3000$ である。

第20区画までの項数は210である。

$a_{211} = a_{212} = \cdots = a_{231} = 21$

$\sum_{k=1}^{210} a_k = 2870$

$3000 - 2870 = 130$

130 を 21 で割ると、商は6、余りは4である。

$130 = 21 \times 6 + 4$

したがって、$n = 210 + 6 + 1 = 217$ で、

$\sum_{k=1}^{216} a_k < 3000$ かつ $\sum_{k=1}^{217} a_k \geq 3000$

つまり、$\sum_{k=1}^{216} a_k = 2870 + 21 \times 6 = 2870 + 126 = 2996 < 3000$

$\sum_{k=1}^{217} a_k = 2996 + 21 = 3017 \geq 3000$

3. 最終的な答え

(1) 210

(2) 21

(3) 2870

(4) 217