数列 $\{c_n\}$ において、$c_1 = c_5 = \frac{1}{2}$ である。第 $M$ 群に値が $\frac{1}{2}$ である項が含まれるための必要十分条件を満たす $M$ を選択肢から選び、数列 $\{c_n\}$ の $c_1$ から数えて5回目に現れる値が $\frac{1}{2}$ である項を $c_l$ とし、数列 $\{c_n\}$ の初項から第 $l$ 項までの和 $c_1 + c_2 + c_3 + \cdots + c_l$ を計算する。

1. 問題の内容

数列 $\{c_n\}$ において、$c_1 = c_5 = \frac{1}{2}$ である。第 $M$ 群に値が $\frac{1}{2}$ である項が含まれるための必要十分条件を満たす $M$ を選択肢から選び、数列 $\{c_n\}$ の $c_1$ から数えて5回目に現れる値が $\frac{1}{2}$ である項を $c_l$ とし、数列 $\{c_n\}$ の初項から第 $l$ 項までの和 $c_1 + c_2 + c_3 + \cdots + c_l$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$c_1 = \frac{1}{2}, c_5 = \frac{1}{2}$ という条件から、数列 $\{c_n\}$ がどのような数列かを推測する必要があります。画像の情報から、数列 $\{c_n\}$ は等差数列、等比数列など単純な数列ではないことがわかります。ここでは、群数列として捉えるのが適切でしょう。

群数列として、第 $M$ 群に $\frac{1}{2}$ が含まれる条件を考える必要があります。選択肢を見ると、ある数で割った余りで分類されているので、周期性に着目します。$c_1$ と $c_5$ がともに $\frac{1}{2}$ であることから、$c_1, c_2, c_3, c_4, c_5$ が一つの周期になっていると推測できます。したがって、第 $M$ 群に $\frac{1}{2}$ が含まれるための必要十分条件は、$M$ が5で割ると1余る、もしくは5で割ると3余る、と考えるのが自然です。したがって、ツの答えは③となります。

次に、$c_1$ から数えて5回目に $\frac{1}{2}$ が現れる項、$c_l$ を考えます。$\frac{1}{2}$ が現れるのが $c_1$ と $c_5$ なので、$c_1$ から数えて5回目に現れる項は $c_{5 \times 4 + 1} = c_{21}$ となります。したがって、$l=21$ です。

最後に、$c_1 + c_2 + c_3 + \cdots + c_{21}$ を計算します。

$c_1=c_5=c_9=c_{13}=c_{17}=c_{21}=\frac{1}{2}$であり、$c_2,c_3,c_4,c_6,c_7,c_8,c_{10},c_{11},c_{12},c_{14},c_{15},c_{16},c_{18},c_{19},c_{20}$はすべて1である。

したがって、

$c_1 + c_2 + c_3 + \cdots + c_{21} = 6 \times \frac{1}{2} + 15 \times 1 = 3+15=18$

3. 最終的な答え

ツ: ③

テトナ: 18

ニヌ: 18