数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$ について、$\frac{5}{21}$ は第何項か答える問題です。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$ について、$\frac{5}{21}$ は第何項か答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、この数列の規則性を見つけます。分母が $k$ である項は $k-1$ 個あります。

分母が $2$ から $n$ までの項の総数は $\sum_{k=2}^{n} (k-1) = \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ で求められます。

$\frac{5}{21}$ の分母は21なので、まず分母が20までの項の総数を計算します。

$n = 20$ のとき、 $\frac{(20-1) \cdot 20}{2} = \frac{19 \cdot 20}{2} = 190$ となります。

つまり、分母が20までの項は190個あります。

$\frac{5}{21}$ は分母が21の数列の中で5番目の項なので、分母が20までの項数190に5を足すと、$\frac{5}{21}$ が数列全体の中で何番目の項かがわかります。

3. 最終的な答え

$190 + 5 = 195$

したがって、$\frac{5}{21}$ は第195項です。