数列 $\{a_n\}$ は初項 2, 公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列である。数列 $\{b_n\}$ の階差数列が数列 $\{a_n\}$ であるとする。このとき、 $a_n$ の一般項を求め、 $b_2 - b_1 = a_1$ と $b_3 - b_2 = a_2$ の値を求め、 数列 $\{b_n\}$ が等比数列であるとき、その公比 $r$ と一般項 $b_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は初項 2, 公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列である。数列 $\{b_n\}$ の階差数列が数列 $\{a_n\}$ であるとする。このとき、

$a_n$ の一般項を求め、

$b_2 - b_1 = a_1$ と $b_3 - b_2 = a_2$ の値を求め、

数列 $\{b_n\}$ が等比数列であるとき、その公比 $r$ と一般項 $b_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ は初項 2, 公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列なので、一般項は

$$a_n = 2 \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}$$

よって、アは 2, イは 1。

(2) 階差数列の定義より、

$b_2 - b_1 = a_1 = 2 \left( \frac{1}{3} \right)^{1-1} = 2 \cdot 1 = 2$

$b_3 - b_2 = a_2 = 2 \left( \frac{1}{3} \right)^{2-1} = 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}$

よって、ウは 2, エは $\frac{2}{3}$。

(3) 数列 $\{b_n\}$ が等比数列であるとき、

$\frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2}$

$\frac{b_2}{b_1} = \frac{b_1 + a_1}{b_1} = \frac{b_1 + 2}{b_1} = 1 + \frac{2}{b_1}$

$\frac{b_3}{b_2} = \frac{b_2 + a_2}{b_2} = \frac{b_2 + \frac{2}{3}}{b_2} = 1 + \frac{2}{3b_2} = 1 + \frac{2}{3(b_1+2)}$

よって、

$1 + \frac{2}{b_1} = 1 + \frac{2}{3(b_1+2)}$

$\frac{2}{b_1} = \frac{2}{3(b_1+2)}$

$3(b_1 + 2) = b_1$

$3b_1 + 6 = b_1$

$2b_1 = -6$

$b_1 = -3$

$r = \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_1 + a_1}{b_1} = \frac{-3 + 2}{-3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$

よって、オは 1, カは 3。

$b_n = b_1 r^{n-1} = (-3) \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = -3 \cdot \frac{1}{3^{n-1}} = -3 \cdot \frac{3}{3^n} = -\frac{9}{3^n} = - \frac{1}{3^{n-2}}$

よって、キクは -1, ケは $3^{n-2}$。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：1

ウ：2

エ：$\frac{2}{3}$

オ：1

カ：3

キク：-1

ケ：$3^{n-2}$