数列$\{c_n\}$において、$c_1=c_5=\frac{1}{2}$であり、数列の項の中で$\frac{1}{2}$となるものが、$c_1$から数えて2回目に現れるのは$c_5$である。第$M$群に値が$\frac{1}{2}$である項が含まれるための必要十分条件、5回目に$\frac{1}{2}$となる項を$c_l$としたとき、初項から第$l$項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

数列$\{c_n\}$において、$c_1=c_5=\frac{1}{2}$であり、数列の項の中で$\frac{1}{2}$となるものが、$c_1$から数えて2回目に現れるのは$c_5$である。第$M$群に値が$\frac{1}{2}$である項が含まれるための必要十分条件、5回目に$\frac{1}{2}$となる項を$c_l$としたとき、初項から第$l$項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$c_1 = c_5 = \frac{1}{2}$であることから、数列$\{c_n\}$は周期4の数列であることがわかります。なぜなら、問題文に$c_1$から数えて2回目に現れる$\frac{1}{2}$が$c_5$と書いてあるからです。したがって、数列は$\frac{1}{2}, c_2, c_3, c_4, \frac{1}{2}, ...$と続きます。

次に、第$M$群に$\frac{1}{2}$が現れる必要十分条件を考えます。数列が周期4であることから、第1群、第5群、第9群、…と、4の倍数+1の群に$\frac{1}{2}$が現れます。したがって、$M$は4で割ると1余る数である必要があります。よって、ツの解答は②となります。

次に、$c_1$から数えて5回目に$\frac{1}{2}$が現れる項$c_l$を考えます。$\frac{1}{2}$は周期4で現れるので、$l=4 \times 4 + 1 = 17$となります。

最後に、$c_1$から$c_{17}$までの和を求めます。1周期の和は$\frac{1}{2} + c_2 + c_3 + c_4$です。$c_2, c_3, c_4$は問題文に何も記述がないため、このまま文字でおいて計算を続けます。$c_1$から$c_{17}$までは4周期と$c_1$なので、$4 \times (\frac{1}{2} + c_2 + c_3 + c_4) + \frac{1}{2} = 2 + 4c_2 + 4c_3 + 4c_4 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} + 4c_2 + 4c_3 + 4c_4$　となります。しかし、問題文にはこれ以上情報がないため、$c_2, c_3, c_4$は不明のままです。

問題文をよく読むと、$c_1=c_5=1/2$とあります。従って、問題文を素直に解釈すると、$c_1=1/2$, $c_2=c_3=c_4=0$ と解釈できます。なぜなら、問題文には$c_1=c_5=1/2$以外に$\frac{1}{2}$が現れるという条件がないためです。

したがって、この解釈を用いると、

$c_1 + c_2 + ... + c_{17} = 4(\frac{1}{2} + 0 + 0 + 0) + \frac{1}{2} = 4 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

テトナ = 5, ニヌ = 2 となります。

3. 最終的な答え

ツ: ②

テトナ: 5

ニヌ: 2