数列 $\{a_n\}$ において、$a_1 = 2$, $a_2 = 5$, $a_3 = 11$ が与えられています。 (1) 階差数列が等差数列であるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (2) 階差数列が等比数列であるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ において、$a_1 = 2$, $a_2 = 5$, $a_3 = 11$ が与えられています。

(1) 階差数列が等差数列であるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(2) 階差数列が等比数列であるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 階差数列が等差数列である場合

階差数列を $\{b_n\}$ とすると、$b_n = a_{n+1} - a_n$ です。

与えられた数列の最初のいくつかの項から、$b_1 = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$, $b_2 = a_3 - a_2 = 11 - 5 = 6$ となります。

階差数列 $\{b_n\}$ が等差数列であることから、その公差を $d$ とすると、$b_2 - b_1 = d$ となります。

したがって、$d = 6 - 3 = 3$ です。

よって、階差数列の一般項は $b_n = b_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)3 = 3n$ となります。

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k = 2 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k = 2 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 2 + \frac{3n^2 - 3n}{2} = \frac{4 + 3n^2 - 3n}{2} = \frac{3n^2 - 3n + 4}{2}$

となります。これは $n \ge 2$ のときのみ適用できるので、$n=1$ のときも確認すると、$\frac{3(1)^2 - 3(1) + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 = a_1$ となり、$n=1$ のときも成り立ちます。

(2) 階差数列が等比数列である場合

階差数列を $\{b_n\}$ とすると、$b_1 = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$, $b_2 = a_3 - a_2 = 11 - 5 = 6$ となります。

階差数列 $\{b_n\}$ が等比数列であることから、その公比を $r$ とすると、$b_2 / b_1 = r$ となります。

したがって、$r = 6 / 3 = 2$ です。

よって、階差数列の一般項は $b_n = b_1 r^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}$ となります。

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{k-1} = 2 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 2 + 3 \sum_{k=0}^{n-2} 2^k = 2 + 3 \cdot \frac{1 - 2^{n-1}}{1 - 2} = 2 + 3 \cdot \frac{1 - 2^{n-1}}{-1} = 2 - 3(1 - 2^{n-1}) = 2 - 3 + 3 \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$

となります。これは $n \ge 2$ のときのみ適用できるので、$n=1$ のときも確認すると、$3 \cdot 2^{1-1} - 1 = 3 \cdot 2^0 - 1 = 3 - 1 = 2 = a_1$ となり、$n=1$ のときも成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) 階差数列が等差数列であるとき、$a_n = \frac{3n^2 - 3n + 4}{2}$

(2) 階差数列が等比数列であるとき、$a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$