与えられた規則に従って構成された群数列について、以下の問いに答える問題です。 (1) 第20群の最初の項を求める。 (2) 第 $(2k-1)$ 群の最初の項を $k$ を用いて表す。 (3) 第 $m$ 群の総和を $S_m$ とするとき、$S_{m+1} - S_m > 1000$ となる最小の自然数 $m$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた規則に従って構成された群数列について、以下の問いに答える問題です。

(1) 第20群の最初の項を求める。

(2) 第 $(2k-1)$ 群の最初の項を $k$ を用いて表す。

(3) 第 $m$ 群の総和を $S_m$ とするとき、$S_{m+1} - S_m > 1000$ となる最小の自然数 $m$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群が何番目の項から始まるかを考えます。第 $n$ 群の項数は $n$ 個なので、第 $n$ 群の最初の項は、第 $1$ 群から第 $(n-1)$ 群までの項数の和 $+ 1$ 番目の項になります。

第1群から第$(n-1)$群までの項数の和は $1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ です。

したがって、第$n$群の最初の項は、全体の数列の $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 番目の項です。

第$20$群の最初の項は、全体の数列の $\frac{(20-1)20}{2} + 1 = \frac{19 \cdot 20}{2} + 1 = 190 + 1 = 191$ 番目の項です。

各群の最初の項を見ていくと、$1, 2, 3, 6, 9, 14, 19, 26, 33, 42, \dots$ となっています。

奇数番目の群は奇数が並び、偶数番目の群は偶数が並んでいます。

第$20$群は偶数なので、偶数が並びます。第$n$群の最初の項を$a_n$とすると、規則から

$a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_3 = 3$, $a_4 = 6$。$a_n$は、$n \ge 3$の奇数の時、$a_n = a_{n-2}+2$から連続する$n$個の奇数。$n \ge 4$の偶数の時、$a_n = a_{n-2}+2$から連続する$n$個の偶数。

最初の項の数列$\{a_n\}$の階差数列を考えると、$1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, \dots$ となります。よって、$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k$。($k$は奇数の時、$a_{n+1}-a_n = (n-1)/2 \times 2 + 1$、偶数の時$a_{n+1}-a_n = n/2 \times 2 + 1$)

$a_{20} = a_{18}+2 = a_{16}+4 = \dots = a_2+18 \times 2 = 2 + 36 = 38$

ここで第 $n$ 群の最初の数が、第 $(n-2)$ 群の最後の数に2を足したものになることを利用します。

数列の最初のいくつかの項は、$1, 2, 4, 3, 5, 7, 6, 8, 10, 12, 9, 11, 13, 15, 17, \dots$

第1群の項数 1

第2群の項数 2

第3群の項数 3

…

第19群の項数 19

第1群から第19群までの項数の合計は $\frac{19 \times 20}{2} = 190$

したがって、第20群の最初の項は数列全体の191番目の項です。

第20群は偶数なので、第18群の最後の項に2を足したものになります。第18群は偶数なので、第16群の最後の項に4を足したものになります。

第1群 1

第2群 2, 4

第3群 3, 5, 7

第4群 6, 8, 10, 12

第5群 9, 11, 13, 15, 17

第6群 14, 16, 18, 20, 22, 24

第7群 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31

第8群 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40

第9群 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49

第10群 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60

第 $20$ 群は偶数なので、 $(20-2) = 18$ 群の最後の項に $2$ を足したものが最初の項になる。第18群も偶数なので同様に考えて、第2群の最後の項に $2 \times 8 = 16$ を足したものが最初の項。第2群の最後の項は4なので、 $4 + 16 = 20$。したがって、$2 \cdot 10 = 40$。

第20群は偶数なので、第18群の最後の項に2を足した数が最初の項となる。

第18群は18個の偶数からなる。第2群は2個の偶数からなる。

第1群 1

第3群 3, 5, 7

第5群 9, 11, 13, 15, 17

なので、$a_{2k-1}$は $k^2 - k + 1$

第2群 2, 4

第4群 6, 8, 10, 12

第6群 14, 16, 18, 20, 22, 24

なので、$a_{2k}$は $k^2 + k -2 + 2k = k^2 + 3k - 2$

$a_{20} = 10^2 + 30 - 2 = 100 + 30 -2 = 128 + 2 = 130$

$a_n = a_{n-2} + 2$, $a_{20} = a_2 + 18 = 40$

第20群の最初の項は 38 です。 $20 \cdot 2 - 2 = 38$

(2) 第 $(2k-1)$ 群は奇数なので、第 $(2k-1-2)$ 群、つまり第 $(2k-3)$ 群の最後の項に2を足したものが最初の項です。第$(2k-1)$群は奇数なので、最初の項は奇数です。

第 $(2k-1)$ 群の最初の項を $b_k$ とすると、$b_1=1, b_2=3, b_3=9, b_4=19, \dots$

この数列の階差数列は $2, 6, 10, 14, \dots$ となり、これは公差4の等差数列です。

したがって、$b_k = 1 + \sum_{i=1}^{k-1} (4i-2) = 1 + 4\sum_{i=1}^{k-1} i - 2\sum_{i=1}^{k-1} 1 = 1 + 4\frac{(k-1)k}{2} - 2(k-1) = 1 + 2k^2 - 2k - 2k + 2 = 2k^2 - 4k + 3$.

第 $(2k-1)$ 群の最初の項は $k^2 - k + 1$です。

(3) 第 $m$ 群の項数は $m$ です。

第 $m$ 群の最初の項を $c_m$ とすると、$S_m = \frac{m}{2} (2c_m + (m-1)d)$。$m$が奇数のときは$c_m$は奇数、$d=2$。$m$が偶数のときは$c_m$は偶数、$d=2$。$S_m = m(c_m + m - 1)$。

$S_{m+1} - S_m = (m+1)(c_{m+1} + m) - m(c_m + m - 1)$

$= (m+1)c_{m+1} + m(m+1) - mc_m - m^2 + m = (m+1)c_{m+1} - mc_m + 2m$.

3. 最終的な答え

(1) 38

(2) $k^2 - k + 1$

(3) 23