数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + 1$ で与えられているとき、$a_1$ と $n \ge 2$ における $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + 1$ で与えられているとき、$a_1$ と $n \ge 2$ における $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_1$ を求めます。$S_1$ は初項 $a_1$ に等しいので、$a_1 = S_1$ となります。

$S_1 = 1^3 + 1 = 2$ より、$a_1 = 2$ です。

次に、$n \ge 2$ のときの $a_n$ を求めます。$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立ちます。

$S_n = n^3 + 1$ なので、$S_{n-1} = (n-1)^3 + 1$ となります。

したがって、$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^3 + 1) - ((n-1)^3 + 1) = n^3 + 1 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + 1) = n^3 + 1 - n^3 + 3n^2 - 3n + 1 - 1 = 3n^2 - 3n + 1$ となります。

3. 最終的な答え

$a_1 = 2$

$a_n = 3n^2 - 3n + 1$ $(n \ge 2)$