数列$\{a_n\}$ が $a_1=2$ および $a_{n+1}-a_n=6n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$ が $a_1=2$ および $a_{n+1}-a_n=6n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} - a_n = 6n$ は階差数列を表していることから、$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 6k$$

ここで、$a_1 = 2$ なので、

$$a_n = 2 + 6\sum_{k=1}^{n-1} k = 2 + 6 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 2 + 3n(n-1) = 2 + 3n^2 - 3n = 3n^2 - 3n + 2$$

これは $n \ge 2$ のとき成り立つ。

$n=1$ のとき、$a_1 = 3(1)^2 - 3(1) + 2 = 3 - 3 + 2 = 2$ となり、$a_1=2$ の条件を満たす。

したがって、すべての $n$ に対して $a_n = 3n^2 - 3n + 2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 3n^2 - 3n + 2$